Учет сдвиговой жесткости ребер при исследовании напряженно-деформированного состояния подкрепленных плит методами Л.В. Канторовича и Ритца

Цель. Целью исследования является разработка метода, основанного на совмещении методов Л. В. Канторовича и Ритца, для расчета напряженно-деформированного состояния ребристых пластин с учетом деформаций сдвига.
Метод. Математическая модель построена на основании функционала полной потенциальной энергии деформации. Решение основано на понижении мерности двумерной задачи до одномерной с использованием метода Л.В. Канторовича и применении метода Ритца при дискретной аппроксимации перемещений.
Результат. В методе Л.В. Канторовича предложено аппроксимирующие функции получать из расчета системы дифференциальных уравнений для балки Тимошенко. В методе Ритца при дискретной аппроксимации перемещений одномерная область разбивается на участки интегрирования, и учет ребер жесткости осуществляется при помощи дельта-функций Дирака или единичных столбчатых функций. Приведены выражения для получения жесткости на изгиб и сдвиг для ребер со сплошной стенкой и ребер в виде ферм. Проведены численные эксперименты на нескольких типах ребер с различной их высотой и выполнено сравнение с методом конечных элементов.
Вывод. Определено совпадение разрабатываемого метода и метода конечных элементов для перемещений, изгибающих моментов и продольных усилий в ребрах. Разработанный метод дает более консервативные значения поперечных сил на опорах.

1. Corte W.D., Bogaert P.V. The effect of shear deformations in floorbeams on the moment distribution in orthotropic plated bridge decks . Journal of Constructional Steel Research. 2006; 62(10):1007–1015. DOI: 10.1016/j.jcsr.2006.01.011.

2. Zarei M., Rahimi G.H., Hemmatnezhad M. On the free vibrations of joined grid-stiffened composite conicalcylindrical shells. Thin-Walled Structures. 2021;161:107465. DOI: 10.1016/j.tws.2021.107465.

3. Шапиро Д.М., Тютин А.П. Теория численного расчета плитно-балочных железобетонных пролетных строений мостовых сооружений // Научный журнал строительства и архитектуры. 2019. № 2(54). С. 134–144.

4. Замалиев Ф.С., Биккинин Э.Г. К расчету сталежелезобетонных плит подкрепленных ребрами // Известия КГАСУ. 2014. № 3(29). С. 27–31.

5. Barulina M.A. Application of generalized differential quadrature method to two-dimensional problems of mechanics // Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics. 2018. Vol. 18, No 2. P. 206–216. DOI: 10.18500/1816-9791-2018-18-2-206-216.

6. Лалин В.В., Семенов Д.А. Решение плоской задачи теории упругостив напряжениях методом граничных элементов // Вестник Евразийской науки. 2025. Т. 17, № 4.

7. Постнов В.А., Тумашик Г.А., Москвина И.В. Об устойчивости подкрепленной цилиндрической оболочки // Проблемы прочности и пластичности. 2007. № 69. С. 18–23.

8. Sayyad A.S., Ghugal Y.M. On the free vibration analysis of laminated composite and sandwich plates: A review of recent literature with some numerical results // Composite Structures. 2015. Vol. 129. P. 177–201. doi: 10.1016/j.compstruct.2015.04.007.

9. Singhatanadgid P., Singhanart T. The Kantorovich method applied to bending, buckling, vibration, and 3D stress analyses of plates: A literature review // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2019. Vol. 26, No 2. P. 170–188. DOI: 10.1080/15376494.2017.1365984.

10. Овчинников И.И., Овчинников И.Г. Моделирование и оптимальное проектирование круглых пластинок, взаимодействующих с агрессивными средами. Тюмень: ТИУ, 2023. 198 с.

11. Гришин И.В., Каюмов Р.А. Упрощенное уравнение многослойной плиты для описания работы асфальтобетонных покрытий металлических мостов // Известия КГАСУ. 2022. № 4(62). С. 119–128. DOI: 10.52409/20731523_2022_4_119.

12. Афанасьева Е.О. Метод Ритца при дискретной аппроксимации перемещений для расчета плит мостовых сооружений, подкрепленных ребрами различной формы // Вестник ПНИПУ. Механика. 2025. № 1. С. 82–91.

13. Chang D.C., Wang G., Wereley N.M. A Generalized kantorovich method and its application to free in-plane plate vibration problem // Applicable Analysis. 2001. Vol. 80, No 3–4. P. 477–491. DOI: 10.1080/00036810108841006.

14. Fallah A., Kargarnovin M.H., Aghdam M.M. Free vibration analysis of symmetrically laminated fully clamped skew plates using extended Kantorovich method // Key Engineering Materials. 2011. Vol. 471–472. P. 739–744. DOI: 10.4028/www.scientific.net/KEM.471-472.739.

15. Fariborz S.J., Pourbohloul A. Application of the extended Kantorovich method to the bending of variable thickness plates // Computers & Structures. 1989. Vol. 31, No 6. P. 957–965.

16. Tebyakin A.D., Krysko A.V., Zhigalov M.V., Krysko V.A. Elastic-plastic deformation of nanoplates. The method of variational iterations (extended Kantorovich method) // Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics. 2022;.22(4):494–505. DOI:10.18500/1816-9791-2022-22-4-494-505.

17. Gong Q., Li H., Chen H., Teng Y., Wang N. Application of Ritz method for vibration analysis of stepped functionally graded spherical torus shell with general boundary conditions // Composite Structures. 2020. Vol. 243. P. 112215. DOI: 10.1016/j.compstruct.2020.112215.

18. Бакулин В.Н., Недбай А.Я. Динамическая устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной продольными ребрами кусочно-постоянной толщины, при действии осевой нагрузки // Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки. 2020. Т. 495, № 1. С. 39–45.

19. Jafari A.A., Bagheri M. Free vibration of non-uniformly ring stiffened cylindrical shells using analytical, experimental and numerical methods // Thin-Walled Structures. 2006. Vol. 44, No 1. P. 82–90. DOI: 10.1016/j.tws.2005.08.008.

20. Semenov A.A. Refined discrete method for calculating stiffened orthotropic shells // PNRPU Mechanics Bulletin. 2022. No 4. P. 90–102. DOI: 10.15593/perm.mech/2022.4.09.

21. Карпов В.В., Кобелев Е.А., Панин А.Н., Семенов А.А. Модели деформирования строительных конструкций и методы их расчета. М.: Издательский дом АСВ, 2022. 466 с.

22. Сливкер В.И. Строительная механика. Вараиционные основы. М.: Издательство АСВ, 2005. 736 с.

23. Балушкин А.Л. Расчет железобетонного изгибаемого элемента как составного стержня // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2007. № 3(51).

24. Ржаницын А.Р. Составные стержни. М.: Стройиздат, 1986. 315 с.

25. Карпов В.В., Афанасьева Е.О. Напряженно-деформированное состояние плиты, подкрепленной ребрами различной конфигурации // Вестник гражданских инженеров. 2024. № 4. С. 35–43. DOI: 10.23968/1999-5571-2024-21-4-35-43

26. Афанасьева Е.О. Дельта-функция Дирака для моделирования ребер плит // Промышленное и граж- данское строительство. 2025. № 3. С. 52–57.