vdgtuВестник Дагестанского государственного технического университета. Технические наукиHerald of Dagestan State Technical University. Technical Sciences2073-61852542-095XDaghestan State Technical University10.21822/2073-6185-2026-53-2-171-182vdgtu-2104Research ArticleСТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРАBUILDING AND ARCHITECTUREУчет сдвиговой жесткости ребер при исследовании напряженно-деформированного состояния подкрепленных плит методами Л.В. Канторовича и РитцаTaking into account the shear stiffness of ribs in the study of the stress-strain state of reinforced slabs using the methods of L.V. Kantorovich and RitzАфанасьеваЕ. О.AfanasyevaE. O.

Афанасьева Елена Олеговна, аспирант, кафедра информационных систем и технологий

190005, 2-я Красноармейская ул., д.4, Санкт-Петербург

Elena O. Afanaseva, Graduate student, Department of Information Systems and Technologies

4, 2nd Krasnoarmeiskaya St., St Petersburg, 190005

elena.afanaseva2064@gmail.comКарповВ. В.KarpovV. V.

Карпов Владимир Васильевич, доктор технических наук, профессор, профессор-консультант кафедры технологий информационного и математического моделирования

190005, 2-я Красноармейская ул., д.4, Санкт-Петербург

Vladimir V.Karpov, Dr. Sci. (Eng.), Prof., Consulting Prof., Department of Information and Mathematical Modeling Technologies

4, 2nd Krasnoarmeiskaya St., St Petersburg, 190005

vvkarpov@lan.spbgasu.ruСанкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университетРоссияSaint Petersburg State University of Architecture and Civil EngineeringRussian Federation202610082026532171182Copyright © Афанасьева Е.О., Карпов В.В., 20262026Афанасьева Е.О., Карпов В.В.Afanasyeva E.O., Karpov V.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.dgtu.ru/jour/article/view/2104

Цель. Целью исследования является разработка метода, основанного на совмещении методов Л. В. Канторовича и Ритца, для расчета напряженно-деформированного состояния ребристых пластин с учетом деформаций сдвига.Метод. Математическая модель построена на основании функционала полной потенциальной энергии деформации. Решение основано на понижении мерности двумерной задачи до одномерной с использованием метода Л.В. Канторовича и применении метода Ритца при дискретной аппроксимации перемещений.Результат. В методе Л.В. Канторовича предложено аппроксимирующие функции получать из расчета системы дифференциальных уравнений для балки Тимошенко. В методе Ритца при дискретной аппроксимации перемещений одномерная область разбивается на участки интегрирования, и учет ребер жесткости осуществляется при помощи дельта-функций Дирака или единичных столбчатых функций. Приведены выражения для получения жесткости на изгиб и сдвиг для ребер со сплошной стенкой и ребер в виде ферм. Проведены численные эксперименты на нескольких типах ребер с различной их высотой и выполнено сравнение с методом конечных элементов.Вывод. Определено совпадение разрабатываемого метода и метода конечных элементов для перемещений, изгибающих моментов и продольных усилий в ребрах. Разработанный метод дает более консервативные значения поперечных сил на опорах.

Objective. The aim of the study is to develop a method based on a combination of L.V. Kantorovich and Ritz methods for calculating the stress-strain state of ribbed plates taking into account shear strains.Method. The mathematical model is constructed based on the functional of the total potential energy of deformation. The solution is based on reducing the dimensionality of the two-dimensional problem to a one-dimensional one using L.V. Kantorovich's method and then applying the Ritz method for discrete approximation of displacements.Result. In L.V. Kantorovich's method, it is proposed to obtain approximating functions from the calculation of a system of differential equations for the Timoshenko beam. In the Ritz method, for discrete approximation of displacements, the one-dimensional domain is divided into integration sections, and the stiffeners are taken into account using Dirac delta functions or unit columnar functions. Expressions for obtaining bending and shear stiffness for solid-wall and truss-type ribs are presented. Numerical experiments are conducted on several rib types with different heights and compared with the finite element method.Conclusion. It is concluded that the developed method and the finite element method agree well for displacements, bending moments, and longitudinal forces in the ribs. It is found that the developed method yields more conservative values for shear forces at supports.

плитаребра жесткостиметод Л.В. Канторовичаметод Ритцанапряженно-деформированное состояниедеформации сдвигаplatestiffenersL.V. Kantorovich methodRitz methodstress-strain stateshear strainsReferencesCorte W.D., Bogaert P.V. The effect of shear deformations in floorbeams on the moment distribution in orthotropic plated bridge decks . Journal of Constructional Steel Research. 2006; 62(10):1007–1015. DOI: 10.1016/j.jcsr.2006.01.011.Corte W.D., Bogaert P.V. The effect of shear deformations in floorbeams on the moment distribution in orthotropic plated bridge decks. Journal of Constructional Steel Research. 2006; 62(10):1007–1015. DOI: 10.1016/j.jcsr.2006.01.011.Zarei M., Rahimi G.H., Hemmatnezhad M. On the free vibrations of joined grid-stiffened composite conicalcylindrical shells. Thin-Walled Structures. 2021;161:107465. DOI: 10.1016/j.tws.2021.107465.Zarei M., Rahimi G.H., Hemmatnezhad M. On the free vibrations of joined grid-stiffened composite conicalcylindrical shells. Thin-Walled Structures. 2021;161:107465. doi: 10.1016/j.tws.2021.107465.Шапиро Д.М., Тютин А.П. Теория численного расчета плитно-балочных железобетонных пролетных строений мостовых сооружений // Научный журнал строительства и архитектуры. 2019. № 2(54). С. 134–144.Shapiro D. M., Tyutin A. P. Numerical calculation theory of slab-beam reinforced concrete bridge high structures. Nauchnyi zhurnal stroitel'stva i arkhitektury”, 2019;2(54):134-144. (In Russ)Замалиев Ф.С., Биккинин Э.Г. К расчету сталежелезобетонных плит подкрепленных ребрами // Известия КГАСУ. 2014. № 3(29). С. 27–31.Zamaliev F.S., Bikkinin E.G. On the calculation of steel-concrete plates reinforced by ribs.News KSUAE. 2014;3(29):27–31. (In Russ)Barulina M.A. Application of generalized differential quadrature method to two-dimensional problems of mechanics // Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics. 2018. Vol. 18, No 2. P. 206–216. DOI: 10.18500/1816-9791-2018-18-2-206-216.Barulina M.A. Application of generalized differential quadrature method to two-dimensional problems of mechanics. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics. 2018;18(2):206–216. DOI: 10.18500/1816-9791-2018-18-2-206-216.Лалин В.В., Семенов Д.А. Решение плоской задачи теории упругостив напряжениях методом граничных элементов // Вестник Евразийской науки. 2025. Т. 17, № 4.Lalin V.V., Semenov D.A. Solution of a plane problem of elasticity theory in stresses by the boundary element method. The Eurasian Scientific Journal. 2025;17(4).Постнов В.А., Тумашик Г.А., Москвина И.В. Об устойчивости подкрепленной цилиндрической оболочки // Проблемы прочности и пластичности. 2007. № 69. С. 18–23.Postnov V.A., Tumashik G.A., Moskvina I.A. About stability of a reinforced cylindrical shell. Problemi prichnosti i plastichnosti. 2007;69:18–23. (In Russ)Sayyad A.S., Ghugal Y.M. On the free vibration analysis of laminated composite and sandwich plates: A review of recent literature with some numerical results // Composite Structures. 2015. Vol. 129. P. 177–201. doi: 10.1016/j.compstruct.2015.04.007.Sayyad A.S., Ghugal Y.M. On the free vibration analysis of laminated composite and sandwich plates: A review of recent literature with some numerical results. Composite Structures. 2015;129:177–201. DOI: 10.1016/j.compstruct.2015.04.007.Singhatanadgid P., Singhanart T. The Kantorovich method applied to bending, buckling, vibration, and 3D stress analyses of plates: A literature review // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2019. Vol. 26, No 2. P. 170–188. DOI: 10.1080/15376494.2017.1365984.Singhatanadgid P., Singhanart T. The Kantorovich method applied to bending, buckling, vibration, and 3D stress analyses of plates: A literature review. Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2019; 26(2):170–188. doi: 10.1080/15376494.2017.1365984.Овчинников И.И., Овчинников И.Г. Моделирование и оптимальное проектирование круглых пластинок, взаимодействующих с агрессивными средами. Тюмень: ТИУ, 2023. 198 с.Ovchinnikov I.I., Ovchinnikov I.G. Modeling and optimal design of round plates interacting with aggressive surroundings. Tyumen: TIU, 2023:198 p. (In Russ)Гришин И.В., Каюмов Р.А. Упрощенное уравнение многослойной плиты для описания работы асфальтобетонных покрытий металлических мостов // Известия КГАСУ. 2022. № 4(62). С. 119–128. DOI: 10.52409/20731523_2022_4_119.Grishin I.V., Kayumov R.A. Simplified multilayered slab equation describing asphalt concrete pavements of metal bridges. News KSUAE. 2022;4 (62):119-128. DOI: 10.52409/20731523_2022_4_119 (In Russ)Афанасьева Е.О. Метод Ритца при дискретной аппроксимации перемещений для расчета плит мостовых сооружений, подкрепленных ребрами различной формы // Вестник ПНИПУ. Механика. 2025. № 1. С. 82–91.Afanaseva E.O. The Ritz method with discrete approximation of displacements for analyzing plates of bridge structures supported by stiffeners of various configurations. PNRPU Mechanics Bulletin. 2025;1:82–91. (In Russ)Chang D.C., Wang G., Wereley N.M. A Generalized kantorovich method and its application to free in-plane plate vibration problem // Applicable Analysis. 2001. Vol. 80, No 3–4. P. 477–491. DOI: 10.1080/00036810108841006.Chang D.C., Wang G., Wereley N.M. A Generalized kantorovich method and its application to free in-plane plate vibration problem. Applicable Analysis. 2001; 80(3–4):477–491. DOI: 10.1080/00036810108841006.Fallah A., Kargarnovin M.H., Aghdam M.M. Free vibration analysis of symmetrically laminated fully clamped skew plates using extended Kantorovich method // Key Engineering Materials. 2011. Vol. 471–472. P. 739–744. DOI: 10.4028/www.scientific.net/KEM.471-472.739.Fallah A., Kargarnovin M.H., Aghdam M.M. Free vibration analysis of symmetrically laminated fully clamped skew plates using extended Kantorovich method. Key Engineering Materials. 2011;471–472: 739–744. doi: 10.4028/www.scientific.net/KEM.471-472.739.Fariborz S.J., Pourbohloul A. Application of the extended Kantorovich method to the bending of variable thickness plates // Computers & Structures. 1989. Vol. 31, No 6. P. 957–965.Fariborz S.J., Pourbohloul A. Application of the extended Kantorovich method to the bending of variable thickness plates. Computers & Structures. 1989;31(6):957–965.Tebyakin A.D., Krysko A.V., Zhigalov M.V., Krysko V.A. Elastic-plastic deformation of nanoplates. The method of variational iterations (extended Kantorovich method) // Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics. 2022;.22(4):494–505. DOI:10.18500/1816-9791-2022-22-4-494-505.Tebyakin A.D., Krysko A.V., Zhigalov M.V., Krysko V.A. Elastic-plastic deformation of nanoplates. The method of variational iterations (extended Kantorovich method). Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics.Informatics. 2022;22(4):494–505. DOI:10.18500/1816-9791-2022-22-4-494-505.(In Russ)Gong Q., Li H., Chen H., Teng Y., Wang N. Application of Ritz method for vibration analysis of stepped functionally graded spherical torus shell with general boundary conditions // Composite Structures. 2020. Vol. 243. P. 112215. DOI: 10.1016/j.compstruct.2020.112215.Gong Q., Li H., Chen H., Teng Y., Wang N. Application of Ritz method for vibration analysis of stepped functionally graded spherical torus shell with general boundary conditions. Composite Structures. 2020; . 243:112215. DOI: 10.1016/j.compstruct.2020.112215.Бакулин В.Н., Недбай А.Я. Динамическая устойчивость цилиндрической оболочки, подкрепленной продольными ребрами кусочно-постоянной толщины, при действии осевой нагрузки // Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки. 2020. Т. 495, № 1. С. 39–45.Bakulin V. N. and. Nedbay A. Ya. Dynamic stability of a cylindrical shell reinforced by longitudal ribs of a piecewise-constant thickness under axial loading. Doklady Physics. 2020;495(1):39–45.Jafari A.A., Bagheri M. Free vibration of non-uniformly ring stiffened cylindrical shells using analytical, experimental and numerical methods // Thin-Walled Structures. 2006. Vol. 44, No 1. P. 82–90. DOI: 10.1016/j.tws.2005.08.008.Jafari A.A., Bagheri M. Free vibration of non-uniformly ring stiffened cylindrical shells using analytical, experimental and numerical methods. Thin-Walled Structures. 2006; 44(1): 82–90. DOI: 10.1016/j.tws.2005.08.008.Semenov A.A. Refined discrete method for calculating stiffened orthotropic shells // PNRPU Mechanics Bulletin. 2022. No 4. P. 90–102. DOI: 10.15593/perm.mech/2022.4.09.Semenov A.A. Refined discrete method for calculating stiffened orthotropic shells. PNRPU Mechanics Bulletin. 2022; 4: 90–102. DOI: 10.15593/perm.mech/2022.4.09. (In Russ)Карпов В.В., Кобелев Е.А., Панин А.Н., Семенов А.А. Модели деформирования строительных конструкций и методы их расчета. М.: Издательский дом АСВ, 2022. 466 с.Karpov V.V., Kobelev E.A., Panin A.N., Semenov A.A. Models of deformation of building structures and methods of their calculation. Moscow: Publishing House of ASV, 2022. 466 p. (In Russ)Сливкер В.И. Строительная механика. Вараиционные основы. М.: Издательство АСВ, 2005. 736 с.Slivker V.I. Construction mechanics. Traditional foundations. Moscow: Publishing House of the ASV, 2005. 736 с.Балушкин А.Л. Расчет железобетонного изгибаемого элемента как составного стержня // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2007. № 3(51).Balushkin A.L. Analysis of a bended concrete element as a composite beam. St. Petersburg Polytechnic University Journal. Physics and Mathematics. 2007;3(51). (In Russ)Ржаницын А.Р. Составные стержни. М.: Стройиздат, 1986. 315 с.Rzhanitsyn A.R. Composite beams. Moscow: Stroyizdat, 1986. 315 p.Карпов В.В., Афанасьева Е.О. Напряженно-деформированное состояние плиты, подкрепленной ребрами различной конфигурации // Вестник гражданских инженеров. 2024. № 4. С. 35–43. DOI: 10.23968/1999-5571-2024-21-4-35-43Karpov V.V., Afanaseva E.O. Stress-strain state of a plate supported by ribs of different configuration. Bulletin of Civil Engineers. 2024;4: 35–43. DOI: 10.23968/1999-5571-2024-21-4-35-43 (In Russ)Афанасьева Е.О. Дельта-функция Дирака для моделирования ребер плит // Промышленное и граж- данское строительство. 2025. № 3. С. 52–57.Afanaseva E.O. Dirac delta function for modeling plates stiffeners. Industrial and civil engineering. 2025;3:52–57. (In Russ)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.