ОСОБЕННОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ В ВЕРШИНЕ УПРУГОГО КЛИНА, ПОДКРЕПЛЕННОГО ТОНКИМ ГИБКИМ ПОКРЫТИЕМ НА ЕГО СТОРОНАХ

Цель. Провести исследование задачи об определении показателей степени при особенности напряжений в вершине клиновидной области в случаях, когда на ее сторонах (или на одной из них) закреплено тонкое гибкое покрытие. 

Метод. Предполагается, что покрытие является нерастяжимым. На другой стороне клиновидной области предполагаются условия наличия такого же покрытия, либо она зафиксирована, свободна от напряжений, либо находится в гладком контакте с жестким основанием. Математически, проблема сводится к задаче определения корней характеристических трансцендентных уравнений, возникающих из условия существования нетривиального решения системы линейных однородных уравнений.

Результат. Для различных сочетаний граничных условий и углов раствора определены показатели при особенности радиальной компоненты тензора напряжений. В частности, установлены значения углов, при которых возникает сингулярное поведение у напряжений. Рассмотрен случай, когда на поверхности ребра задано специальное граничное условие, моделирующее накладку, и получены характеристические уравнения для определения показателя степенной зависимости асимптотического решения в его окрестности для четырех вариантов граничных условий. В двух случаях получились трансцендентные уравнения, которые решаются численно.

Вывод. Представлены расчеты первых положительный корней уравнений в зависимости от угла раствора ребра и коэффициента Пуассона. Определены значения углов, при которых возникает сингулярное поведение у напряжений. В случае сочетания граничных условий (III - IV), сингулярное поведение напряжений наблюдается для угла ???? = ????/8, тогда как, в случае (III - III) это значение равно ????/4. 

1. Аксентян О.К. Особенности напряженно-деформированного состояния плиты в окрестности ребра. – Прикладная математика и механика. - 1967, т.31, вып.1.

2. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости - М.: Наука, 1981. 688 с.

3. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. - Math. Nachr. 1977, т.76.

4. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. - М.: Наука, Гл. ред. физ-мат литературы. 1973. –304 с.

5. Белоконь А.В. - Колебания и волны в полуограниченных и ограниченных телах: диссертация ... доктора физико-математических наук: 01.02.04. - Ростов-на -Дону, 1987. - 450 с.: ил. Механика деформируемого твердого тела.

6. B. Sobol, A. Soloviev, A. Krasnoschekov. (2015). The transverse crack problem for elastic bodies stiffened by thin elastic coating. - ZAMM. Z. Angew. Math. Mech. No. 11. pp. 1302-1314.

7. B. Sobol, A. Soloviev, E. Rashidova, P. Vasiliev. (2018). Equilibrium state of the internal crack in the infinite elastic wedge with thin coating. - ZAMM. Z. Angew. Math. Mech., No 98. pp. 659-674. doi:10.1002/zamm.201700246.

8. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. - М.: Наука, 1983. – 488 с.

9. Kim, C.I., Ru, C.-Q., &Schiavone, P. (2013). A clarification of the role of crack-tip conditions in linear elasticity with surface effects. Mathematics and Mechanics of Solids, No 18(1). pp. 59–66. doi:10.1177/1081286511435227.

10. Kim, C.I., Schiavone, P. &Ru, C.Q. (2013). Effects of boundary reinforcement on local singular fields in linearly elastic materials. - Archives of Mechanics, - № 65(4). pp. 289–300.

11. Elastic-plasticfractureanalysesforpipelinegirthweldswith 3D semiellipticalsurfacecrackssubjectedtolargeplasticbending / Y.M. Zhang, D.K. Yi, Z.M. Xiao, Z.H. Huang, S B. Kumar // Int. J. ofPressureVesselsandPiping. 2013. Vol. 105-106. pp. 90-102. DOI: 10.1016/j.ijpvp.2013.03.009

12. Chiodo M.S.G., Ruggieri C. J and CTOD estimationprocedureforcircumferentialsurfacecracksinpipesunderbending // Eng. Fract. Mech. 2010. Vol. 77(3). pp. 415-436. DOI: 10.1016/j.engfracmech.2009.10.001

13. Madia M., Arafan D., Zerbst U. Referenceloadsolutionsforplateswithsemiellipticalsurfacecrackssubjectedtobiaxialtensileloading // Int. J. ofPressureVesselsandPiping. 2014. Vol. 119. pp 19- 28. DOI: 10.1016/j.ijpvp.2014.02.004

14. Atroshchenko E., Potapenko S., Glinka G. Stressintensityfactorfor a semiellipticalcracksubjectedtoanarbitrarymode I loading // MathematicsandMechanicsofSolids. 2014. Vol. 19(3). pp 289-298. DOI: 10.1177/1081286512463573

15. Predan J., Mocilnik V., Gubeljak N. Stressintensityfactorsforcircumferentialsemi-ellipticalsurfacecracksin a hollowcylindersubjectedtopuretorsion // Eng. Fract. Mech. 2013. Vol. 105. pp. 152-168. DOI: 10.1016/j.engfracmech.2013.03.033

16. Linearandnon-linearanalysesforsemi-ellipticalsurfacecracksinpipesunderbending / B. Mechab, B. Serier, B.B. Bouiadjra, K. Kaddouri, X. Feaugas // Int. J. ofPressureVesselsandPiping. 2011. Vol. 88(1). pp. 57-63. DOI: 10.1016/j.ijpvp.2010.11.001