Статически определимые и неопределимые фермы с позиции принципа стационарного действия

Цель. В статье рассматривается соответствие статически определимых и статически неопределимых ферм общефизическому принципу стационарного действия и его конкретному проявлению в механике деформируемого твердого тела – обобщенным вариационным принципам Лагранжа и Кастильяно.

Метод. Проектные задачи для ферм решены на основе теории структурного синтеза с использованием обобщенного вариационного принципа Кастильяно и метода множителей Лагранжа. Рассмотрены изопериметрические задачи с уравнением связи, устанавливающим заданный объём материала. Из условия стационарности обобщённого функционала потенциальной энергии деформации выведены уравнения для определения варьируемых параметров. Для трёхстержневой статически неопределимой фермы обнаружено ее вырождение в единый стержень, а для многопролётной фермы – комплексные числа для искомых параметров.

Результат. Дано обобщение теоремы Васютинского, сформулированной без учёта проблемы устойчивости равновесия элементов системы. Установлено, что для статически определимой фермы минимуму потенциальной энергии деформации соответствует минимум объёма материала и при наличии сжатых стержней. Дано обобщение теоремы Леви с учётом устойчивости равновесия сжатых стержней, которое подтвердило поиск рациональных систем в области статически определимых систем с обеспечением глобальных минимумов потенциальной энергии деформации и объёма материала. Лишённая объективного критерия рациональности, задача синтеза статически неопределимой фермы может рассматриваться при различных вариантах субъективных критериев с локальным минимумом целевой функции.

Вывод. Для          обеспечения         глобальных показателей          качества      механического     сопротивления конструктивных систем, в частности ферм, их анализ и синтез должны производиться на единой методологической основе – с использованием принципа стационарного действия.

1. Юрьев А.Г. Естественный фактор оптимизации конструкций. Белгород: Изд-во БГТУ, 2003. 110 с.

2. Rashevsky N. Mathematical biophysics: Physico-mathematical foundations of biology. V.2. New York: Dover. Publ, 1960. 453 p.

3. Patzelt O. Wachsen und Bauen: Konstruktionen in Natur und Technik. Berlin: Verlag für Bauwesen, 1972. 168 р.

4. Юрьев А.Г. Оптимизация топологии и геометрии конструкций. Белгород: Изд-во БГТУ, 2018. 96 с.

5. Юрьев А.Г. Оптимизация структуры металлических ферм / А.Г. Юрьев, В.А. Зинькова, Н.А. Смоляго, О.А. Яковлев // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2017. № 7. С.41-45.

6. Юрьев А.Г. Оптимизация нагружения металлических ферм / А.Г. Юрьев, В.А. Зинькова // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2020. №2. С. 56-61.

7. Зинькова В.А. Формы консоли на основе вариационного принципа Кастильяно // Вестник Инженерной школы Дальневосточного федерального университета. 2024. № 4(61). С. 90–95.

8. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. М.-Л.: Гостехиздат, 1960. 296 с.

9. Wasiutynski Z. On the congruency of the forming according to the minimum potential energy with that according to the equal strength. Bulletin de L’Academie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Techniques. 1960. V. 8. No 6. pp. 259–268.

10. Pippard A.I.S. On a method for the direct design of framed structures having redundant bracing // Techn. Rep. Aero. Res. Com. London, 1923.

11. Рабинович И.М. К теории статически неопределимых ферм. М.: Транспечать, 1933. 120 с.

12. Радциг Ю.А. Инновационные свойства статически неопределимых ферм наименьшего объёма // Материалы науч.-техн. конф. 1966 г. по строит. механике и строит. конструкциям. Казань: Изд-во Каз ИСИ, 1966. С.86-87.

13. Мажид К.И. Оптимальное проектирвоание конструкций. М.: Высшая школа, 1979. 238 с.

14. Bendsoe M.P. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method / M.P. Bendsoe, N. Kikuchi // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1988. No 71(2). Р. 197-224.

15. Diaz A.R. Solutions to shape and topology eigenvalue optimization using a homogenization method / A.R. Diaz, N. Kikuchi // Int. J. Numer. Methods Eng. 1992. No 35. Р. 1487-1502.

16. Bendsоe M.P. Topology optimization: theory, methods, and applications / M.P. Bendsоe, O. Sigmund. Berlin: Springer. 2003. 376 p.

17. Rozvany G.I.N. Structural design via optimality criteria. Dordrecht: Kluwer, 1989, 463 p.

18. Rozvany G.I.N. Topology optimization in structural design / G.I.N. Rozvany, N. Zhou, O. Sigmund // Advances in design optimization. London: Adeli. 1994. P.240-299.

19. Yang R.J. Automotive applications of topology optimization / R.J.Yang, A.I. Chahande// Structural Optimization. 1995. № 9. Р.245-249.

20. Липин Е.К. Некоторые свойства статически неопределимых равнопрочных ферм / Уч. Зап. ЦАГИ, 1983. Т.14. № 5. С. 72-79.