Коррекция оптимального регулятора на основе решения обратной задачи оптимальной стабилизации с векторным управлением

Цель. Задача о проектировании регуляторов, которые реализуют заданное программное движение объекта управления и задача определения движения динамической системы – две основные задачи в классической теории управления. В статье рассматривается решение прямой и обратной задач оптимальной стабилизации. Вектор состояния принимается доступным для измерения полностью.

Метод. Опираясь на соотношение оптимальности, связывающее весовые коэффициенты квадратичного функционала качества и оптимальную матрицу усиления, на которую замыкается объект управления, предлагается использовать численный метод определения матриц функционала. Для исследования использовались математические модели автономных полностью управляемых объектов, формирование которых осуществлялось случайным образом, в частности, по нормальному закону распределения.

Результат. Первоначальный этап решения связан с модальным синтезом, результатом которого является пропорциональный регулятор, обеспечивающий стабилизацию объекта управления по расположению полюсов синтезированной системы. Затем, определены весовые коэффициенты функционала путем численного решения соотношения оптимальности. Заключительным этапом является решение прямой задачи оптимальной стабилизации, в основе которого лежит вариационная задача Лагранжа. В результате вычисляется оптимальный регулятор, который при включении в замкнутую систему вместо модального позволяет уменьшить длительность переходного процесса.

Вывод. Авторский подход позволяет минимизировать в определенной степени переходные процессы скорректированной системы управления.

1. Petersen I. R., Hollot C. V. A Riccati equation approach to the stabilization of uncertain linear systems / I. R. Petersen, C. V. Hollot //Automatica. – 1986. – Vol. 22, №. 4. – P. 397-411.

2. Мишин П. А., Немчинова П. А. Аналитический контроль решения задачи оптимальной стабилизации стационарного объекта с векторным управлением //E-Scio. – 2022. – № 4 (67). – С. 231-238.

3. Мишин П. А., Немчинова П. А. Аналитический контроль решения задачи оптимальной стабилизации стационарного объекта с векторным управлением/ П. А. Мишин, П. А. Немчинова //Математика и математическое моделирование. –2022. – С. 377-378.

4. Афонин В. В. Аналитический контроль решения задачи оптимальной стабилизации стационарного объекта со скалярным управлением//Вестник Мордовского университета. 1998. № 3-4. – С. 122-123.

5. Мишин П. А., П. А. Немчинова. Анализ точности вычисления оптимального регулятора на основе соотношения оптимальности в системе matlab и языке Python //E-Scio. 2022. № 11 (74). – С. 511-518.

6. Афонин В. В., Мурюмин С. М. Соотношения оптимальности в линейно-квадратичной задаче управления. //Журнал Средневолжского математического общества. – 2014. –Т. 16, № 2. – С. 118-120.

7. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003. – 632 с.

8. Балашевич Н. В., Габасов Р., Кириллова Ф. М. Численные методы программной и позиционной оптимизации линейных систем управления//Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2000. – Т. 40, №. 6. – С. 838-859.

9. Киреев В. И., Пантелеев А. В. Численные методы в примерах и задачах. Высшая школа, 2008. 480 с.

10. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению.//Автоматика и телемеханика. – 2005. – № 5. – С. 7-46.

11. S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Ferron, V. Balakrishnan. Linear matrix inequalities in system and control theory. / Boyd S., El Ghaoui L., Ferron E., Balakrishnan V. – SIAM, 1994. – 193 p.

12. Polyak B. T., Shcherbakov P. S. Optimization and asymptotic stability//International Journal of Control. – 2016. – С. 1–7.

13. Юревич Е. И. Теория автоматического управления. / Е. И. Юревич. – М.: Энергия, 1969. – 375 с.

14. Зубов Н. Е., Рябченко В. Н. О вычислении псевдообратной матрицы. Общий случай / Н. Е. Зубов, В. Н. Рябченко //Вестник Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана. Серия «Естественные науки». – 2018. – №1 (76). – С. 16-25.

15. Германенко М. И., Панюков А. В. Параллельные алгоритмы безошибочного вычисления матрицы МураПенроуза. //Параллельные вычислительные технологии. – 2008. – С. 215-215.

16. Veremey E. Spectral approach to H-optimization of plasma control//International Journal of Modern Physics A. – 2009. – Т. 24, №. 5. – С. 1009-1018.

17. Аполонский В. В., Тарарыкин С. В. Методы синтеза редуцированных регуляторов состояния линейных динамических систем//Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. – 2014. – №. 6. – С. 25-33.

18. Антоник В. Г., Срочко В. А. Метод проекций в линейно-квадратичных задачах оптимального управления //Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1998. – Т. 38, №. 4. – С. 564-572.

19. Романова И. К. Об одном подходе к определению весовых коэффициентов метода пространства состояний / И. К. Романова // Наука и Образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. – 2015. – №. 4. – С. 105-129.

20. Афонин В. В., Мишин П. А., Мишина П. А. Вариационный подход к синтезу оптимального регулятора в задаче стабилизации // E-Scio. – 2023. – № 1 (76). – С. 299-315.