vdgtuВестник Дагестанского государственного технического университета. Технические наукиHerald of Dagestan State Technical University. Technical Sciences2073-61852542-095XDaghestan State Technical University10.21822/2073-6185-2020-47-3-71-81vdgtu-843Research ArticleИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕCOMPUTER SCIENCE, COMPUTER ENGINEERING AND MANAGEMENTФормирование ортогональных латинских квадратов методом индексной структуризации таблиц умножения n- множествFormation of orthogonal latin squares by index structuring of n-set multiplication tablesКадиевП. А.KadievP. A.

Кадиев Пашай Абдулгамидович - кандидат технических наук, профессор, кафедра управления и информатики в технических системах и вычислительной техники.367026, Махачкала пр.И.Шамиля, 70.

Pashay A. Kadiev - Cand. Sci. (Technical), Assoc. Prof., Department of Management and Informatics in Technical Systems and Computer Engineering.70 I. Shamil Ave., Makhachkala 367026.

islam-kadi@mail.ruКадиевИ. П.KadievI. P.

Кадиев Исламудин Пашаевич - соискатель кафедры управления и информатики в технических системах и вычислительной техники.367026, Махачкала пр.И.Шамиля, 70.

Islamudin P. Kadiev - Applicant, Department of Management and Informatics in Technical Systems and Computer Engineering.70 I. Shamil Ave., Makhachkala 367026.

islam-kadi@mail.ruДагестанский государственный технический университетРоссияDaghestan State Technical UniversityRussian Federation2020151120204737181Copyright © Кадиев П.А., Кадиев И.П., 20202020Кадиев П.А., Кадиев И.П.Kadiev P.A., Kadiev I.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.dgtu.ru/jour/article/view/843

Цель. Целью исследования является формирование структурно совершенных ортогональных латинских квадратов (ОЛК) методом индексно упорядоченного расположения элементов таблицы умножения n-множеств на основе таблицы умножения. Метод. Формирование ортогональных латинских квадратов произведено методом индексной структуризации таблиц умножения n - множеств. Результат. Предлагается метод построения структурно совершенных ортогональных латинских квадратов пар индексированных конечных множеств нечетной размерности, на основе индексного упорядочения nxn- массива элементов таблицы умножения. Отличительная особенность предлагаемого метода построения структурно совершенных ортогональных квадратов из элементов двух индексированных множеств, одинаковой размерности, заключается в использовании авторами, разработанного ими метода перестановок элементов исходных nxn- матричных конфигураций, с формированием индексно упорядоченных или индексно структурированных комбинаторных конфигураций. Вывод. Использование метода построения семейства ортогональных латинских квадратов для пар индексированных конечных множеств одинаковой нечетной размерности по элементам, образующим их таблицу умножения, методом индексной структуризации по принципу функциональных зависимостей значений индексов пар элементов множеств и значений индексов пар элементов её окружения позволяет формировать ортогональные конфигурации определенного класса, в которых, оперируя индексами элементов, легко демонстрируется их ортогональность.

Objective. Formation of structurally perfect orthogonal Latin squares by the method of index ordering of the multiplication table elements of n-sets based on the multiplication table. Methods. Orthogonal Latin squares are formed by the method of index structuring of n-set multiplication tables. Results. A method is proposed for constructing structurally perfect orthogonal Latin squares of pairs of indexed finite sets of odd dimension, based on the index ordering of an nxn-array of elements in the multiplication table. A distinctive feature of the proposed method for constructing structurally perfect orthogonal squares from elements of two indexed sets of the same dimension is the use by the authors of the method of permutations of elements of the original nxn-matrix configurations, with the formation of index-ordered or index-structured combinatorial configurations. Conclusion. The use of the method for constructing a family of orthogonal Latin squares for pairs of indexed finite sets of the same odd dimension by the elements forming their multiplication table by the method of index structuring based on the principle of functional dependency of the index values on pairs of set elements and index values on pairs of elements from its environment allows creating a specific class orthogonal configuration, which, in terms of element indices, easily demonstrates their orthogonality.

ортогональные латинские квадратытаблица умножениякомбинаторные конфигурациииндексная структуризацияorthogonal Latin squaresmultiplication tablecombinatorial configurationsindex structuringReferencesВиленкин Н.Я. Комбинаторика. - М.: «Наука»,1969г.,328с.Vilenkin N.YA. Kombinatorika. - M.: «Nauka»,1969g.,328s. [Vilenkin N. Ya. Combinatorics. - M .: "Science", 1969, 328s. (In Russ)]Тараканов В.Е., Айгнер М. А. Комбинаторная теория.- М.: Мир,1982, 362с.Tarakanov V.Ye., Aygner M. A. Kombinatornaya teoriya.- M.: Mir,1982, 362s. [Tarakanov V.E., Aigner M.A., Combinatorial theory, Moscow: Mir, 1982, 362p. (In Russ)]Холл М. Комбинаторика. / Перевод с английского С.А. Широкова под ред. А.О. Гельфанда А.О.и Тараканова В.Е // М.: Мир,1970г.Kholl M. Kombinatorika. / Perevod s angliyskogo S.A. Shirokova pod red. A.O. Gel'fanda A.O.i Tarakanova V.Ye //.- M.: Mir,i970.[Hall M. Combinatorics. / Translated from English by S.A. Shirokova, ed. A.O. Gelfand A.O. and Tarakanova V.E. // M .: Mir, 1970 (In Russ)]Стенли Р. Перечислительная комбинаторика М.: Мир, 1990г.Stenli R. Perechislitel'naya kombinatorika. M.: Mir, i990. [Stanley R. Enumeration combinatorics - M .: Mir, 1990. (In Russ)]Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. М.: изд. МГУ, 1994г.Rybnikov K.A. Vvedeniye v kombinatornyy analiz.- M.: izd. MGU, 1994. [Rybnikov K.A. Introduction to combinatorial analysis. Moscow: ed. Moscow State University, 1994. (In Russ)]http://www.google/ru. Алгоритмы индексной сортировки массивов данных.http://www.google/ru. Index sorting algorithms for data arrays.Леонтьев В.К. Избранные задачи комбинаторного анализа. - М.: изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001Leont'yev V.K. Izbrannyye zadachi kombinatornogo analiza. - M.: izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 200i [Leontiev V.K. Selected problems of combinatorial analysis. - M .: publishing house of MSTU im. N.E. Bauman, 2001 (In Russ)]Волкова В.Н. Теория систем и системный анализ. Учебник / В. Н. Волкова, А. А. Денисов // М.: Юрайт, 2015.615с.Volkova V.N. Teoriya sistem i sistemnyy analiz. Uchebnik / V. N. Volkova, A. A. Denisov //- M.: Yurayt, 2015.-615s. [Volkova V.N. Systems theory and systems analysis. Textbook / V. N. Volkova, A. A. Denisov // - M .: Yurayt, 2015.-615s. (In Russ)]Denes J. H., Keedwell A. D. Latin squares: New developments in the theory and applications. Annals of Discrete Mathematics vol. 46. Academic Press. Amsterdam. 1991.Denes J. H., Keedwell A. D. Latin squares: New developments in the theory and applications. Annals of Discrete Mathematics vol. 46. Academic Press. Amsterdam. 1991.Рыбников К. А. Комбинаторный анализ. Очерки истории. Текст// М.: Изд. Мехмата МГУ, 1996. 124 с.Rybnikov K. A. Kombinatornyy analiz. Ocherki istorii. Tekst//— M.: Izd. Mekhmata MGU, 1996. — 124 s. [Rybnikov KA Combinatorial analysis. Essays on history. Text // - M .: Ed. Mehmat Moscow State University, 1996. 124 p. (In Russ)]Андерсен Дж.А. Дискретная математика и комбинаторика. Текст //пер. с англ. М.: Вильямс, 2003.Andersen J.A. Discrete mathematics and combinatorics. Text // lane. from English - M .: Williams, 2003.Кадиев П.А., Кадиев И.П. Алгоритмы преобразования «классических» матриц в 2-х индексные латинские квадраты. Текст. / П.А Кадиев, И.П. Кадиев, М.З. Зейналов// Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. Т.17. 2010. с.93-99Kadiyev P.A., Kadiyev I.P. Algoritmy preobrazovaniya «klassicheskikh» matrits v 2-kh indeksnyye latinskiye kvadraty. Tekst. / P.A Kadiyev, I.P. Kadiyev, M.Z. Zeynalov. // Vestnik Dag. Gos. Tekh. Un-ta, Ti7. 20i0. s.93-99 [Kadiev P.A., Kadiev I.P. Algorithms for transforming "classical" matrices into 2-index Latin squares. Text. / P.A. Kadiev, I.P. Kadiev, M.Z. Zeynalov//Herald of Daghestan State Technical University. Technical Sciences. Vol. 17. 2010. рр.93-99 (In Russ)]Кадиев П.А. Программа преобразования матриц методом латинских квадратов. Текст. / П.А. Кадиев, М.З. Зейналов. // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2009616143 от 09.11.2009г.Kadiyev P.A. Programma preobrazovaniya matrits metodom latinskikh kvadratov. Tekst. / P.A. Kadiyev, M.Z. Zeynalov. // Svidetel'stvo o gosudarstvennoy registratsii programm dlya EVM №2009616143 ot 09.11.2009g. [Kadiev P.A. A program for converting matrices by the method of Latin squares. Text. / P.A. Kadiev, M.Z. Zeynalov. // Certificate of state registration of computer programs No. 2009616143 dated 09.11.2009. (In Russ)]Кадиев И.П. Рассеивание элементов «пакетов ошибок» в информационном массиве методом индексной структуризации. Текст / П.А Кадиев, И.П. Кадиев, Кудаев Р.Б. // Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. Том 46. №4, 2019. с.81-89Kadiyev I.P. Rasseivaniye elementov «paketov oshibok» v informatsionnom massive metodom indeksnoy strukturizatsii. Tekst / P.A Kadiyev, I.P. Kadiyev, Kudayev R.B. // Vestnik DGTU. Tekhnicheskiye nauki. Tom 46. №4, 2019.- s.8i-89 [Kadiev I.P. Scattering of "error packets" elements in the information array by the method of index structuring. Text / P.A. Kadiev, I.P. Kadiev, Kudaev R.B. // Herald of Daghestan State Technical University. Technical Sciences. Vol. 46. No4, 2019. pp.81-89 (In Russ)]Кадиев И.П. Система индексной структуризации комбинаторных конфигураций методом рекуррентных функциональных соотношений для защиты передаваемых по каналам связи данных. Текст./ Кадиев И.П., Мелехин В. Б. // ж. Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. № 2 ,2019г. с.37- 43Kadiyev I.P. Sistema indeksnoy strukturizatsii kombinatornykh konfiguratsiy metodom rekurrentnykh funktsion-al'nykh sootnosheniy dlya zashchity peredavayemykh po kanalam svyazi dannykh. Tekst./ Kadiyev I.P., Melekhin V.B. // zh. Pribory i sistemy. Upravleniye, kontrol', diagnostika. № 2 ,2019. s.37- 43 [Kadiev I.P. The system of index structuring of combinatorial configurations by the method of recurrent functional relations for the protection of data transmitted over communication channels. Text. / Kadiev I.P., Melekhin V.B. // J. Devices and systems. Management, control, diagnostics. No. 2, 2019 pp. 37-43 (In Russ)]Laywine C. F. and Mullen G. L. Discrete mathematics using Latin squares. New York: Wiley, 1998.Laywine C. F. and Mullen G. L. Discrete mathematics using Latin squares. New York: Wiley, 1998.Chum C.S. and Zhang X. The Latin squares and the secret sharing schemes // Groups Complex. Cryptol. 2010. V. 2. P. 175-202.Chum C.S. and Zhang X. The Latin squares and the secret sharing schemes // Groups Complex. Cryptol. 2010. Vol. 2. pp. 175-202.Laywine C. F. and Mullen G. L. Discrete mathematics using Latin squares. New York: Wiley, 1998.Laywine C. F. and Mullen G. L. Discrete mathematics using Latin squares. New York: Wiley, 1998.Глухов М. М. О применениях квазигрупп в криптографии. Статья. // Прикладная дискретная математика. 2008. №2(2). C. 28-32.Glukhov M. M. O primeneniyakh kvazigrupp v kriptografii .Stat'ya. // Prikladnaya diskretnaya matematika. 2008. №2(2). s. 28-32. [Glukhov MM On applications of quasigroups in cryptography. Article. // Applied discrete mathematics. 2008. No. 2 (2). pp. 28-32. (In Russ)]Малых А.Е Об историческом процессе развития теории латинских квадратов и некоторых их приложениях. Текст/Малых А.Е., Данилова В. И. // Вестник Пермского университета. 2010. Вып. 4(4). С. 95-104.Malykh A.Ye Ob istoricheskom protsesse razvitiya teorii latinskikh kvadratov i nekotorykh ikh prilozheniyakh. Tekst. /. Malykh A.Ye., Danilova V. I. // Vestnik Permskogo universiteta. 2010. Vol. 4(4). S. 95-104. [Malykh AE On the historical development of the theory of Latin squares and some of their applications. Text. /. Malykh A.E., Danilova V.I. // Bulletin of Perm University. 2010. Issue. 4 (4). pp. 95-104. (In Russ)]Тришин А.Е. Способ построения ортогональных латинских квадратов на основе подстановочных двучленов конечных полей. Текст.//- М.: ТВП.Trishin A.Ye. Sposob postroyeniya ortogonal'nykh latinskikh kvadratov na osnove podstanovochnykh dvuchlenov konechnykh poley . Tekst.// M.: TVP. [Trishin A.E. A method for constructing orthogonal Latin squares based on substitutional binomials of finite fields. Text // M .: TVP. (In Russ)]Тужилин М. Э. Об истории исследований латинских квадратов Текст// Обозрение прикладной и промышленной математики. 2012. Том 19, выпуск 2. С. 226-227.Tuzhilin M. E. Ob istorii issledovaniy latinskikh kvadratov Tekst. // Obozreniye prikladnoy i promyshlennoy matematiki. 2012. Tom 19, vypusk 2. S. 226—227. [Tuzhilin M. E. On the history of studies of Latin squares Text.// Review of Applied and Industrial Mathematics. 2012. Vol. i9, Issue 2. рр. 226-227. (In Russ)]

The authors declare that there are no conflicts of interest present.