398600, Московская ул., 30, Липецк
Иванычев Дмитрий Алексеевич – кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Общая механика»
30 Moskovskaya Str., Lipetsk 398600
Cand. Sci. (Physical and Mathematical), Assoc. Prof., Department of«General Mechanics».
Цель. Целью работы является развитие метода граничных состояний на класс задач изгиба и кручения анизотропных тонких плит; разработка теории построения базисов пространств внутренних и граничных состояний, основываясь на общем приближенном решении задачи изгиба пластинок и формирование соотношений, определяющих искомое упругое состояние; реализация разработанной теории в решении конкретных задач.
Метод. Выполнение поставленных задач предполагается средствами метода граничных состояний. Базисы пространств состояний, составляющих основу метода, формируются согласно фундаментальной системе многочленов Вейерштрасса.
Результат. Доказан изоморфизм пространств внутренних и граничных состояний, позволяющий взаимно однозначно установить соответствие между элементами этих пространств. Изоморфизм пространств позволяет процесс поиска внутреннего состояния свести к изучению изоморфного ему граничного состояния. Механические характеристики представлены в виде рядов Фурье. В случае первой и второй основных задач механики в качестве коэффициентов Фурье выступают скалярные произведения, имеющие энергетический смысл: в пространстве граничных состояний – это работа внешних сил; в пространстве внутренних состояний – это внутренняя энергия упругого деформирования. В случае смешанных задач механики отыскание упругого состояния, в терминах метода граничных состояний, сводится к решению бесконечной системы алгебраических уравнений.
Вывод. Приведено решение тестовой первой основной задачи изгиба с кручением для прямоугольной пластины из стеклопластика с соответствующими выводами, задачи кручения для пластинки нетривиальной формы, даны комментарии о необоснованности решения второй основной задачи, а также задачи со смешанными граничными условиями для прямоугольной пластинки, где на одной грани заданы одновременно скручивающие и изгибающие усилия, а противоположная грань защемлена. Представлены явные и косвенные признаки сходимости решения задач и графическая визуализация результатов.
Objectives The aims of the study are to expand the edge state method for solving bending and torsion problems concerning anisotropic thin plates, develop the theory of construction of the bases of spaces of interior and edge states based on a general approximate solution to the plate bending problem, formulate the relationships determining the desired elastic state and implement the developed theory in solving specific problems.
Methods The fulfilment of the tasks is assumed to be based on the edge state method. The state spaces comprising the methodological basis are formed according to the fundamental system of Weierstrass polynomials.
Results An isomorphism of interior and edge state spaces is demonstrated, allowing a correspondence between the elements of these spaces to be unambiguously established. The isomorphism of spaces allows the process of finding the internal state to be reduced to the study of the edge state isomorphic to it. The mechanical characteristics are represented in the form of a Fourier series. In the case of the first and second fundamental mechanics problems, the Fourier coefficients are represented by scalar products having an energy implication: in the space of edge states, this consists in the work of external forces; in the space of internal states, it is the internal energy of elastic deformation. In the case of mixed mechanical problems, the search for an elastic state in the terms of the edge state method is reduced to solving an infinite system of algebraic equations.
Conclusion The solution of the first-tested basic problem of bending with torsion for a rectangular fibreglass plate with corresponding conclusions is given, as well as the problems of torsion for a plate of nontrivial form. Commentaryis provided concerning the unreasonableness of the solution of the second fundamental problem, as well as the problem with mixed boundary conditions for a rectangular plate where twisting and bending forces are defined simultaneously on the one face, while the opposite face is squeezed. Both explicit and indirect signs of the convergence of the solution to the problem are presented along with a graphical visualisation of the results.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.