ассистент,
367026 г. Махачкала, пр. И. Шамиля, 70
Assistant Lecturer,
70 I. Shamilya Ave., Makhachkala 367026
доктор технических наук, профессор, кафедра сопротивления материалов, теоретической и строительной механики,
367026 г. Махачкала, пр. И. Шамиля, 70
Dr.Sci. (Technical), Prof., Department of Materials Strength, Theoretical and Construction Mechanics,
70 I. Shamilya Ave., Makhachkala 367026
аспирант,
367026 г. Махачкала, пр. И. Шамиля, 70
Postgraduate Student,
70 I. Shamilya Ave., Makhachkala 367026
Цель. Целью работы является поиск наиболее рациональной формы выражения потенциальной энергии нелинейной системы с последующим использованием алгебраических средств и геометрических образов теории катастроф для изучения поведения конструкции под нагрузкой. Исследуются различные формы критериев устойчивости равновесных состояний конструкций. Рассматриваются некоторые аспекты использования различных форм выражений полной энергии системы, ориентированные на последующее использование методов теории катастроф для решения нелинейных задач расчета конструкций, связанных с разрывными явлениями.
Метод. По форме записи выражения потенциальной энергии устанавливается связь математического описания решаемой задачи с конкретной катастрофой универсального характера из списка катастроф, после чего поведение рассматриваемой системы может быть предсказано на основе фундаментальных положений, сформулированных в теории катастроф, без интегрирования соответствующей системы нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка в частных производных, к которой сводится решение такого рода задач.
Результат. Представлен в виде единых геометрических образов, содержащих всю необходимую качественную и количественную информации о деформировании под нагрузкой целых классов конструкции для широкого диапазона изменения значений внешних (управляющих) и внутренних (поведенческих) параметров.
Вывод. Методы теории катастроф являются эффективным математическим инструментарием при решении нелинейных краевых задач с параметрами, связанных с разрывными явлениями, труднее поддающимся анализу традиционными методами. Но они пока не получили должного внимания со стороны исследователей, особенно в области расчетов на устойчивость, остающейся сложной, актуальной и привлекательной проблемой механики конструкций. Для решения конкретной нелинейной краевой задачи расчета конструкций алгебраическими средствами и геометрическими образами теории катастроф установлена связь математического описания решаемой задачи, характеризуемое функционалом разновидности энергетического метода c универсальными задачами, решаемыми на основе фундаментальных положений теории катастроф. Данная работа призвана к возрождению интереса к методам теории катастроф и их использованию для решения различных задач.
Objectives. The aim of the work is to find the most rational form of expression of the potential energy of a nonlinear system with the subsequent use of algebraic means and geometric images of catastrophe theory for studying the behaviour of a construction under load. Various forms of stability criteria for the equilibrium states of constructions are investigated. Some aspects of the using various forms of expression of the system’s total energy are considered, oriented to the subsequent use of the catastrophe theory methods for solving the nonlinear problems of construction calculation associated with discontinuous phenomena.
Methods. According to the form of the potential energy expression, the mathematical description of the problem being solved is linked to a specific catastrophe of a universal character from the list of catastrophes. After this, the behaviour of the system can be predicted on the basis of the fundamental propositions formulated in catastrophe theory without integrating the corresponding system of nonlinear differential equations of high order in partial derivatives, to which the solution of such problems is reduced.
Results. The result is presented in the form of uniform geometric images containing all the necessary qualitative and quantitative information about the deformation of whole construction classes under load for a wide range of changes in the values of external (control) and internal (behavioural) parameters.
Conclusion. Methods based on catastrophe theory are an effective mathematical tool for solving non-linear boundary-value problems with parameters associated with discontinuous phenomena, which are poorly analysable by conventional methods. However, they have not yet received due attention from researchers, especially in the field of stability calculations, which remains a complex, relevant and attractive problem within structural mechanics. To solve a concrete nonlinear boundary value problem for calculating structures by algebraic means and using geometric images of catastrophe theory, it is necessary to establish the connection between the mathematical description of the problem being solved, characterised by the functional of the variety of the energy method and universal problems solved on the basis of the fundamental provisions of catastrophe theory. Present work is an effort to revive interest in the methods of catastrophe theory and their use for solving various problems.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.