кандидат физико-математических наук, доцент,
394018, Воронежская область, г. Воронеж, Университетская пл., д.1
Cand. Sci.(Physics and Mathematical), Assoc.Prof.,
1 Universitetskaya square, Voronezh 394018
Цель. Определение взаимосвязи между методами обобщенного критерия и целевого программирования.
Метод. В работе рассматривается операция агрегирования, лежащая в основе многих процедур принятий решений, используемая в межотраслевом балансе, в нейросетевых технологиях, при исследовании многоцелевых систем. Использование некоторых метрик в рамках целевого программирования может приводить к решениям, которые не являются Парето-оптимальными. Поэтому в целевом программировании значительное место уделяется нахождению условий, при которых использование той или иной метрики заведомо приводит к Парето-оптимальным решениям. Для аддитивной свертки известны необходимые (теорема Карлина) и достаточные условия Парето-оптимальности. Для обобщенного критерия на основе порядковых операторов взвешенного агрегирования представлены доказанные автором теорема о включении множества оптимальных по Парето решений во множество эффективных решений и теорема о Парето-оптимальности полученного решения.
Результат. Приведено доказательство теоремы о Парето-оптимальности решения, максимизирующего обобщенный критерий, полученный на основе порядковых операций взвешенного агрегирования, которая обосновывает использование операций данного типа для решения задач векторной оптимизации или многокритериального выбора. Теорема о существовании аддитивной свертки для метрики верна только в частном случае и основана на теореме Карлина, согласно которой подмножество точек Парето-множества максимизирует некоторую аддитивную свертку.
Вывод. В статье установлена взаимосвязь между методами аддитивной свертки и метрики. Сформулировано и доказано утверждение о взаимосвязи параметров функции расстояния в методе целевого программирования и весовых коэффициентов аддитивной свертки, которая обеспечивает эквивалентность оптимальных решений по Парето.
Objectives. The aim of the work is to determine the relationship between generalised criterion and target programming methods.
Methods. The paper considers the aggregation operation that underlies many decision-making procedures used in input-output models, in neural network technologies and in the study of multi-purpose systems. The use of certain metrics within the framework of target programming can lead to solutions that are not Pareto-optimal. Therefore, in targeted programming, a significant place is given to finding the conditions under which the use of one or another metric obviously leads to Pareto-optimal solutions. The necessary (Carlin's theorem) and sufficient conditions of Pareto-optimality are known to perform the additive reduction. For a generalised criterion on the basis of order operators of weighted aggregation, two theorems proven by the author (the theorem on the inclusion of the set of Pareto-optimal solutions into a set of effective solutions and the Pareto optimality theorem for the solution obtained) are presented.
Results. The proof of the Pareto optimality theorem of the solution is given, maximising the generalised criterion obtained on the basis of the order operations of weighted aggregation, which justifies the use of operations of this type for solving the problems of vector optimisation or multicriteria choice. The theorem on the existence of an additive reduction for a metric is true only in the particular case and is based on Carlin's theorem, according to which a subset of Pareto-set points maximises some additive reduction.
Conclusion. In the paper a relationship between the additive reduction and metrics methods is established. An assertion concerning the relationship between the parameters of the distance function in the target programming method and the weighting coefficients of the additive reduction is formulated and proved, which ensures the equivalence of the optimal Pareto solutions.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.