vdgtuВестник Дагестанского государственного технического университета. Технические наукиHerald of Dagestan State Technical University. Technical Sciences2073-61852542-095XDaghestan State Technical University10.21822/2073-6185-2024-51-3-202-214vdgtu-1573Research ArticleСТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРАBUILDING AND ARCHITECTUREСвободные колебания континуально-дискретной многопролетной балки с учетом инерционных сил вращенияFree vibrations of a Continuous-discrete multi-span Beam taking into account inertial Rotation ForcesКультербаевХ. П.KulterbaevH. P.

Культербаев Хусен Пшимурзович, доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник 

355017, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1

Husen P. Kulterbaev, Dr. Sci. (Eng), Prof., Leading Researcher 

1 Pushkina St., Stavropol 355017 

kulthp@mail.ruПайзулаевМ. М.PayzulaevM. M.

Пайзулаев Магомед Муртазалиевич, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой сопротивление материалов, теоретической и строительной механики

367026, г. Махачкала, пр. И. Шамиля, 70

Magomed M. Payzulaev, Cand. Sci. (Eng), Assoc. Prof., Head of the Department Resistance of Materials, Theoretical and Construction Mechanics 

70 I.Shamil Ave., Makhachkala 367026 

smdstu@mail.ruОмаровШ. А.OmarovSh. A.

Омаров Шамиль Абдулаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры сопротивление материалов, теоретической и строительной механики

367026, г. Махачкала, пр. И. Шамиля, 70

Shamil A. Omarov, Cand. Sci. (Eng), Assoc. Prof., Department of Resistance of Materials, Theoretical and Structural Mechanics 

70 I.Shamil Ave., Makhachkala 367026 

keger1963@mail.ruСеверо-Кавказский федеральный университетРоссияNorth Caucasus Federal UniversityRussian FederationДагестанский государственный технический университетРоссияDaghestan State Technical UniversityRussian Federation202402102024513202214Copyright © Культербаев Х.П., Пайзулаев М.М., Омаров Ш.А., 20242024Культербаев Х.П., Пайзулаев М.М., Омаров Ш.А.Kulterbaev H.P., Payzulaev M.M., Omarov S.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.dgtu.ru/jour/article/view/1573

Цель. Целью исследования является оценка свободных колебаний континуально-дискретной многопролетной балки с учетом инерционных сил вращения. Поставлена цель определения спектра собственных частот, коэффициентов демпфирования и собственных форм. Метод. Исследование основано на методах линейной механики конструкций; численных и численно-аналитических методах расчета. Решение задачи отыскивается с помощью метода разделения переменных. Вращательные движения частиц континуальных участков учитываются согласно одной из моделей балки Тимошенко. Использован принцип Даламбера и гипотезы о малости перемещений и углов поворота сечений. Результат. Получена система уравнений в матрично-векторной форме. Математическая модель поперечных колебаний состоит из трёх систем дифференциальных уравнений. В уравнение включаются поперечные силы, внешние сосредоточенные силы, даламберовы силы инерцииi, силы линейно-вязкого сопротивления. Учитываются силы инерции вращения сосредоточенных масс. Граничные и другие дополнительные условия к уравнениям соответствуют расчётной схеме. Левый конец балки шарнирно оперт. На стыке участков выполняются условия сопряжения. Вывод. Данный случайный процесс возмущений весьма близок к процессам, использующимся в детерминистических задачах. Амплитуды и среднеквадратические отклонения перемещений в детерминистической и стохастической задачах почти совпадают, что подтверждает достоверность предложенной теории расчёта. Анализ кривых показывает, что среднеквадратические отклонения существенным образом зависят от степени коррелированности компонентов векторного случайного процесса возмущений. Использование современных вычислительных компьютерных систем типа Matlab позволяет удачно сочетать достоинства как численных, так и графических способов.

Objective. The aim of the study is to estimate free vibrations of a continuousdiscrete multi-span beam taking into account the inertial forces of rotation. The goal is to determine the spectra of natural frequencies, damping coefficients and natural modes. Method. The study is based on the methods of linear mechanics of structures; numerical and numericalanalytical calculation methods. The solution to the problem is found using the method of separation of variables. Rotational movements of particles of continuous sections are taken into account according to one of the models of the Timoshenko beam. The D'Alembert principle and hypotheses on the smallness of displacements and angles of rotation of sections are used. Result. A system of equations in matrix-vector form is obtained. The mathematical model of transverse vibrations consists of three systems of differential equations. The equation includes transverse forces, external concentrated forces, d'Alembert inertial forcesi, and linear-viscous resistance forces. The inertial forces of rotation of concentrated masses are taken into account. The boundary and other additional conditions to the equations correspond to the calculation scheme. The left end of the beam is hinged. The conjugation conditions are met at the junction of the sections. Conclusions. This random process of disturbances is very close to the processes used in deterministic problems. The amplitudes and standard deviations of displacements in the deterministic and stochastic problems almost coincide, which confirms the reliability of the proposed calculation theory. Analysis of the curves shows that the standard deviations significantly depend on the degree of correlation of the components of the vector random process of disturbances. The use of modern computing computer systems such as Matlab allows us to successfully combine the advantages of both numerical and graphical methods.

поперечные и свободные колебания балкиконтинуальнодискретная многопролётная балкапоступательное движениевращательное движениепринцип Даламберасилы линейно-вязкого сопротивленияtransverse and free vibrations of a beamcontinuous-discrete multi-span beamtranslational motionrotational motiond'Alembert's principlelinear-viscous resistance forcesReferencesАкимов П.А., Белостоцкий Т.Б. и др. Информатика в строительстве (с основами математического и компьютерного моделирования): учебное пособие. Москва: КНОРУС, 2017. -420 с.Akimov P.A., Belostotsky T.B. and others. Computer science in construction (with the basics of mathematical and computer modeling): a study guide. Moscow: KNORUS, 2017;420 ( In Russ)Арутюнов С.К., Овчинников И.Н., Старцев В.А. Моделирование колебаний балки при случайном вибронагружении. Прикладные проблемы механики ракетно-космических систем: Тез. докл. Всерос. конф., посвящ. 40-летию со дня основания каф. "Аэрокосм. системы" (СМ-2) МГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, 5 дек. 2000. - М.: Изд-во МГТУ. -2000. C. 66.Arutyunov S.K., Ovchinnikov I.N., Startsev V.A. Modeling of beam vibrations under random vibration loading. Applied problems of mechanics of rocket and space systems: Thesis. dokl. All-Russian conf., dedicated. to the 40th anniversary of the founding of the Aerospace Department. systems" (SM-2) Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 5 Dec. 2000. Moscow: Publishing House of the Moscow State Technical University. 2000;66. ( In Russ)Джанкулаев Аз. Я., Казиев А.М. Свободные колебания континуально-дискретной механической системы. «Перспектива – 2003»: Материалы Всероссийской научная конф. студентов, аспирантов и молодых учёных. – Т. VI. - Нальчик: Каб.-Балк. гос. университет., 2003. – С. 13-17.Dzhankulaev Az. Ya., Kaziev A.M. Free oscillations of a continually discrete mechanical system. "Perspektiva – 2003": Materials of the All-Russian Scientific Conference of Students, postgraduates and Young Scientists. – Vol. VI. - Nalchik: Office of the Baltic State. University., 2003; 13-17. ( In Russ)Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н. Математические методы в строительной механике (с основами теории обобщённых функций). –М.:Издательство АСВ, 2008. – 336 с.Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N. Mathematical methods in structural mechanics (with the basics of the theory of generalized functions). M.: Publishing House DIA, 2008;336( In Russ)Культербаев Х.П. Cвободные колебания стержней c сосредоточенными массами // Известия высших учеб. завед. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. №.4, 2002. C.14-18.Kulterbaev H.P. Free vibrations of rods with concentrated masses. Izvestiya vyshnykh ucheb. the institution. The North Caucasus region. Natural Sciences. 2002; 4:14-18. ( In Russ)Культербаев Х.П., Джанкулаев Аз.Я. Смешанная система дифференциальных уравнений какматематическая модель колебаний континуально-дискретных механических систем // РАН, Владикавказский научный центр. Владикавказский математический журнал. Октябрь – декабрь, 2001, Том 3, Выпуск 4. С. 4-29 - 4-35.Kulterbaev H.P., Dzhankulaev Az.Ya. Mixed system of differential equations as a mathematical model of oscillations of continually discrete mechanical systems. RAS, Vladikavkaz Scientific Center. The Transcaucasian Mathematical Journal. October – December, 2001; 3(4): 4-29 - 4-35. ( In Russ)Культербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые колебания континуально-дискретной многопролётной балки // Вестник Нижегородского университета им. Н.И.Лобачевского. №4, часть 2. Труды Х Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Изд-во ННГУ им. Н.И.Лобачевского, 2011. С. 198-200.Kulterbaev H.P. Kinematically excited oscillations of a continually discrete multi-span beam. Bulletin of the Nizhny Novgorod University named after N.I.Lobachevsky. No. 4, part 2. Proceedings of the X AllRussian Congress on Fundamental Problems of Theoretical and Applied Mechanics. Publishing house of N.I.Lobachevsky National Research University, 2011;198-200. ( In Russ)Культербаев Х.П., М.М. Пайзулаев Устойчивость сжато-растянутого стержня переменного сечения при комбинированном нагружении // Вестник Дагестанского государственного технического университета Технические науки, 2023., 50(4)., С. 191-196.Kulterbaev H.P., M.M. Paizulaev Stability of a compressed-stretched rod of variable cross-section under combined loading. Herald of the Daghestan State Technical University of Technical Sciences, 2023;50(4): 191-196. ( In Russ)Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002. 840 с.Verzhbitsky V.M. Fundamentals of numerical methods. Moscow: Higher School, 2002;840. ( In Russ)Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): -М.: ООО Издательский дом «Оникс 21 век», 2005. – 432 с.Verzhbitsky V.M. Numerical methods (linear algebra and nonlinear equations): Moscow: Onyx 21st Century Publishing House LLC, 2005;432. ( In Russ)Культербаев Х.П. Введение в MATLAB. – Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2006. – 57 с.Kulterbaev H.P. Introduction to MATLAB. Nalchik: Kab.-Bulk. Univ., 2006;57. ( In Russ)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.