<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
<!DOCTYPE article PUBLIC "-//NLM//DTD JATS (Z39.96) Journal Publishing DTD v1.3 20210610//EN" "JATS-journalpublishing1-3.dtd">
<article article-type="research-article" dtd-version="1.3" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xml:lang="ru"><front><journal-meta><journal-id journal-id-type="publisher-id">vdgtu</journal-id><journal-title-group><journal-title xml:lang="ru">Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки</journal-title><trans-title-group xml:lang="en"><trans-title>Herald of Dagestan State Technical University. Technical Sciences</trans-title></trans-title-group></journal-title-group><issn pub-type="ppub">2073-6185</issn><issn pub-type="epub">2542-095X</issn><publisher><publisher-name>Daghestan State Technical University</publisher-name></publisher></journal-meta><article-meta><article-id pub-id-type="doi">10.21822/2073-6185-2023-50-4-129-138</article-id><article-id custom-type="elpub" pub-id-type="custom">vdgtu-1401</article-id><article-categories><subj-group subj-group-type="heading"><subject>Research Article</subject></subj-group><subj-group subj-group-type="section-heading" xml:lang="ru"><subject>ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ</subject></subj-group><subj-group subj-group-type="section-heading" xml:lang="en"><subject>INFORMATION TECHNOLOGY AND TELECOMMUNICATIONS</subject></subj-group></article-categories><title-group><article-title>Численно-аналитическое решение распределения температур во вcпененной суспензии в процессе вакуумной СВЧ - сушки</article-title><trans-title-group xml:lang="en"><trans-title>Numerical and analytical solution of temperature distribution in foamed soy suspension during vacuum microwave drying</trans-title></trans-title-group></title-group><contrib-group><contrib contrib-type="author" corresp="yes"><name-alternatives><name name-style="eastern" xml:lang="ru"><surname>Ткач</surname><given-names>В. В.</given-names></name><name name-style="western" xml:lang="en"><surname>Tkach</surname><given-names>V. V.</given-names></name></name-alternatives><bio xml:lang="ru"><p>Ткач Владимир Владимирович - кандидат технических наук, доцент кафедры общепрофессиональных дисциплин.</p><p>394064, Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54а</p></bio><bio xml:lang="en"><p>Vladimir V. Tkach - Cand. Sci. (Eng.), Assoc. Prof., Department of general professional disciplines.</p><p>54a, Stary Bolsheviks St., Voronezh 394064</p></bio><email xlink:type="simple">tkachbalian@yandex.ru</email><xref ref-type="aff" rid="aff-1"/></contrib><contrib contrib-type="author" corresp="yes"><name-alternatives><name name-style="eastern" xml:lang="ru"><surname>Магомедов</surname><given-names>Г. О.</given-names></name><name name-style="western" xml:lang="en"><surname>Magomedov</surname><given-names>G. O.</given-names></name></name-alternatives><bio xml:lang="ru"><p>Магомедов Газибег Омарович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Технологии хлебопекарного, кондитерского, макаронного и зерноперерабатывающего производств».</p><p>394036, Воронеж, проспект Революции, д. 19</p></bio><bio xml:lang="en"><p>Gazibeg O. Magomedov - Dr. Sci. (Eng.), Prof., Head. Department of Technologies of bakery, confectionery, pasta and grain processing industries.</p><p>19, Revolution Ave., Voronezh 394036</p></bio><email xlink:type="simple">gazibeck.magomedov@yandex.ru</email><xref ref-type="aff" rid="aff-2"/></contrib><contrib contrib-type="author" corresp="yes"><name-alternatives><name name-style="eastern" xml:lang="ru"><surname>Шевцов</surname><given-names>А. А.</given-names></name><name name-style="western" xml:lang="en"><surname>Shevtsov</surname><given-names>A. A.</given-names></name></name-alternatives><bio xml:lang="ru"><p>Шевцов Александр Анатольевич - доктор технических наук, профессор, профессор кафедры общепрофессиональных дисциплин.</p><p>394064, Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54а</p></bio><bio xml:lang="en"><p>Alexander A. Shevtsov - Dr. Sci. (Eng.), Prof., Prof, Department of general professional disciplines.</p><p>54a, Stary Bolsheviks St., Voronezh 394064</p></bio><email xlink:type="simple">shevalol@rambler.ru</email><xref ref-type="aff" rid="aff-1"/></contrib></contrib-group><aff-alternatives id="aff-1"><aff xml:lang="ru"><institution>Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»</institution><country>Россия</country></aff><aff xml:lang="en"><institution>Military Training and Research Center Air force «The Air Force Academy named after professor N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin»</institution><country>Russian Federation</country></aff></aff-alternatives><aff-alternatives id="aff-2"><aff xml:lang="ru"><institution>Воронежский государственный университет инженерных технологий</institution><country>Россия</country></aff><aff xml:lang="en"><institution>Voronezh State University of Engineering Technology</institution><country>Russian Federation</country></aff></aff-alternatives><pub-date pub-type="collection"><year>2023</year></pub-date><pub-date pub-type="epub"><day>23</day><month>01</month><year>2024</year></pub-date><volume>50</volume><issue>4</issue><fpage>129</fpage><lpage>138</lpage><permissions><copyright-statement>Copyright &amp;#x00A9; Ткач В.В., Магомедов Г.О., Шевцов А.А., 2024</copyright-statement><copyright-year>2024</copyright-year><copyright-holder xml:lang="ru">Ткач В.В., Магомедов Г.О., Шевцов А.А.</copyright-holder><copyright-holder xml:lang="en">Tkach V.V., Magomedov G.O., Shevtsov A.A.</copyright-holder><license xml:lang="ru" license-type="creative-commons-attribution" xlink:href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" xlink:type="simple"><license-p>Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.</license-p></license><license xml:lang="en" license-type="creative-commons-attribution" xlink:href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" xlink:type="simple"><license-p>This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.</license-p></license></permissions><self-uri xlink:href="https://vestnik.dgtu.ru/jour/article/view/1401">https://vestnik.dgtu.ru/jour/article/view/1401</self-uri><abstract><p>Цель. Технологии вакуумного обезвоживания растворов в поле СВЧ постоянно развиваются в направлении повышения энергетической эффективности процесса сушки и снижения себестоимости целевой продукции. Это научное направление в полной мере относится и к вакуумной СВЧ – сушке суспензии во вспененном состоянии. Важнейшей задачей является совершенствование математического моделирования, которое оказывает существенную помощь в исследовании тепломассообменных процессов, протекающих в вакуумных сушилках с СВЧ – энергоподводом, в проектировании новых установок и выработке эффективных режимов их эксплуатации, разработке оптимальных режимов вакуумной сушки вспененных суспензий с учетом теплофизических и электрофизических характеристик. Метод. Исследование основано на методах иммитационного компьютерного моделирования. Результат. С использованием результатов ранее проведенных исследований получен математический аппарат по нахождению температуры в пенообразном продукте в процессе вакуумной СВЧ – сушки. Его отличие от существующих математических моделей заключается в возможности применения простых методов анализа дифференциальных уравнений с меньшим количеством неизвестных переменных. Предложен метод численно – аналитического решения математической модели процесса вакуумной СВЧ – сушки вспененной суспензии. На примере СВЧ – сушки вспененной соевой суспензии проведена экспериментальная проверка, которая показала удовлетворительную сходимость результатов моделирования с погрешностью 10 – 12%. Вывод. Исследование численных методов решения сформулированной задачи позволяет определять температуру в любой точке соевой суспензии с учетом теплофизических и электрофизических характеристик суспензии в широком диапазоне режимных параметров.</p></abstract><trans-abstract xml:lang="en"><p>Objective. Technologies of vacuum dehydration of solutions in the microwave field are constantly developing in the direction of increasing the energy efficiency of the drying process and reducing the cost of target products. This scientific direction fully applies to vacuum microwave drying of soy suspension in a foamed state. In this regard, the most important task is to improve mathematical modeling, which provides significant assistance in the study of heat and mass transfer processes occurring in vacuum dryers with microwave power supply; in the design of new installations and the development of effective modes of their operation; the development of optimal modes of vacuum drying foamed soy suspension, taking into account thermophysical and electrophysical characteristics. Method. The research is based on computer simulation methods. Result. Using the results of previous studies, a mathematical apparatus was obtained for finding the temperature in a foamy product during vacuum microwave drying. Its difference from existing mathematical models lies in the possibility of using simple methods for analyzing differential equations with fewer unknown variables. A method of numerical and analytical solution of a mathematical model of the process of vacuum microwave drying of foamed suspension is proposed. Experimental verification showed quite satisfactory convergence of the simulation results with an error of 10-12%. Conclusion. The study of numerical methods for solving the formulated problem makes it possible to determine the temperature at any point of the soybean suspension, taking into account the thermophysical and electrical characteristics of the suspension in a wide range of operating parameters.</p></trans-abstract><kwd-group xml:lang="ru"><kwd>моделирование</kwd><kwd>вакуум</kwd><kwd>энергоподвод</kwd><kwd>СВЧ – нагрев</kwd><kwd>вспененное состояние</kwd></kwd-group><kwd-group xml:lang="en"><kwd>designing</kwd><kwd>vacuum</kwd><kwd>power supply</kwd><kwd>microwave heating</kwd><kwd>foamed condition</kwd></kwd-group></article-meta></front><back><ref-list><title>References</title><ref id="cit1"><label>1</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Журавлев А. В. Разработка конструкции вихревой сушильной камеры с СВЧ - энергоподводом [Текст] / А. В. Журавлев, Д. А. Казарцев, И. С. Юрова, Э. В. Ряжских, Е. С. Бунин / Технологии пищевой и перерабатывающей промышленности АПК – продукты здорового питания. – 2014. – № 4 (4). – С. 68 – 74.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Zhuravlev A.V. Development of the design of a vortex drying chamber with a microwave energy supply. A.V. Zhuravlev, D. A. Kazartsev, I. S. Yurova, E. V. Ryazhskikh, E. S. Bunin.Tech—ologies of the food a—d processing industry of the agro-industrial complex - healthy food products. 2014;4 (4) 68-74. (In Russ)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit2"><label>2</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Хвостов А. А. Математическое обеспечение процесса вакуумной СВЧ – сушки как предначальная стадия создания САПР сушилок нового поколения [Текст] / А.А. Хвостов, В.И. Ряжских, А.А. Шевцов, В.В. Ткач. / Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. Том 49, №3, 2022. – С. 104 – 115.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Khvostov A. A. Mathematical support of the vacuum microwave drying process as a pre-initial stage of creating CAD dryers of a new generation [Text]. A.A. Khvostov, V.I. Ryazhskikh, A.A. Shevtsov, V.V. Tkach. Herald of Daghestan State Technical University. Technical Sciences. 2022; 49(3):104-115. (In Russ)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit3"><label>3</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Пат. №» 2544406 РФ, IVIП К F26B 17/10, 3/347. Аппарат для сушки дисперсных материалов в закрученном потоке теплоносителя с СВЧ - энергоподводом [Текст] / Д. А. Казарцев, С. Т Антипов, А. В. Журавлев, Д. А. Нестеров, А. 13. Бородкина. - заявитель и патентообладатель: Воронеж. гос. ун - т. инж. технол. -№ 2013150692, заявл. 14.11.2013, опубл. - 20.03.2015. Бюл. № 8.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Pat. No. 2544406 of the Russian Federation, IPC F26B 17/10, 3/347. Apparatus for drying dispersed materials in a swirling coolant flow with a microwave power supply [Text] / D. A. Kazartsev, S. T. Antipov, A.V. Zhuravlev, D. A. Nesterov, A.V. Borodkina. - applicant and patent holder: Voronezh State University T. eng. technol. No. 2013150692, declared on 14.11.2013, published on 20.03.2015. Byul. No. 8. (In Russ)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit4"><label>4</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Пат. №» 2425311 РФ, МПК F26B 17/10, 3/347. Вихревая сушильная камера для сушки дисперсного материала в закрученном потоке теплоносителя с СВЧ - энергоподводом [Текст] / С. Т Антипов, Д.А. Казарцев, А.В. Журавлев, Е.С. Бунин, А.Ю. Баранов, И.С. Юрова. -заявитель и патентообладатель: Воронеж. гос. технол. акад. № 2010115946, заявл.21.04.2010, опубл.27.07.2011. Бюл. № 21.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Pat. No. 2425311 of the Russian Federation, IPC F26B 17/10, 3/347. Vortex drying chamber for drying dispersed material in a swirling coolant flow with a microwave power supply [Text] S.T. Antipov, D.A. Kazartsev, A.V. Zhuravlev, E.S. Bunin, A. Yu. Baranov, I.S. Yurova. applicant and patent holder: Voronezh. gos.technol.acad. No.2010115946, application No.21.04.2010, publ.27.07.2011. Byul. No.21.(In Russ)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit5"><label>5</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Пат. № 2444689 РФ, МПК F26B 25/22. Способ автоматического управления процессом сушки пищевых продуктов в ленточной сушилке с использованием конвективного и СВЧ - энергоподвода / С. Т. Антипов, Д. А. Казарцев, А. В. Журавлев, Т. В. Калинина, И. С. Юрова, А. Б. Емельянов. – заявитель и патентообладатель: Воронеж. гос. технол. акад. - № 2010135851, заявл. 26.08.2010, опубл. 10.03.2012. Бюл. № 7.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Pat. No. 2444689 of the Russian Federation, IPC F26B 25/22. A method for automatic control of the drying process of food products in a belt dryer using convective and microwave power supply. S. T. Antipov, D. A. Kazartsev, A.V. Zhuravlev, T. V. Kalinina, I. S. Yurova, A. B. Emelyanov. applicant and patent holder: Voronezh. gos. technol. acad. No.2010135851, application.26.08.2010, publ.10.03.2012. Byul.No.7. (In Russ)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit6"><label>6</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Пат. на пол. модель № 159476 РФ, МПК G01R 21/02. Устройство для измерения удельной мощности электромагнитного поля СВЧ в объеме заполненным сыпучим либо жидким материалом [Текст] / Д. А. Будников, А. Н. Васильев, А. А. Васильев, А. А. Цымбал. - Заявитель и патентообладатель. - Федеральное государственное бюджетное научное Учреждение Всероссийский научно -исследовательский институт электрификации сельского хозяйства .- № 2015143412/28, заявл. 13.10.2015; опубл. 10.02.2016. Бюл. № 4.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Pat. on the floor. Model No. 159476 RF, IPC G01R 21/02. A device for measuring the specific power of the microwave electromagnetic field in a volume filled with bulk or liquid material [Text] / D. A. Budnikov, A. N. Vasiliev, A. A. Vasiliev, A. A. Tsymbal. - Applicant and patent holder. - Federal State Budgetary Scientific Institution All - Russian Research Institute of Electrification of Agriculture. - No. 2015143412/28, declared on 13.10.2015; published on 10.02.2016. Byul. No. 4. (In Russ)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit7"><label>7</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Пат. № 2755850 РФ, МПК F26B 9/06. Установка для вакуумной сушки [Текст] / С. В. Макеев, Е. С. Бунин, А. А. Шевцов, В. В. Ткач. - заявитель и патентообладатель: Воронеж. гос. ун - т. инж. технол. - № 2020141027, заявл. 14.12.2020, опубл. 22.09.2021. Бюл. № 27.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Pat. No. 2755850 of the Russian Federation, IPC F26B 9/06. Installation for vacuum drying [Text] / S.V. Makeev, E. S. Bunin, A. A. Shevtsov, V. V. Tkach. - applicant and patent holder: Voro-nezh. gos. un - t. eng. technol. - No. 2020141027, declared on 12/14/2020, published on 09/22/2021. Byul. No. 27. (In Russ)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit8"><label>8</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Пат. № 2784271 РФ, МПК 26B 15/04. Вакуумная СВЧ - установка карусельного типа [Текст] / В. В. Ткач, А. А. Шевцов, И. Н. Таращенко, А. М. Журавлев. - заявитель и патентообладатель: Федеральное государственное казенное военное образовательное учреждение высшего образования "Военный учебно-научный центр Военно - воздушных сил "Военно - воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина" (г. Воронеж) Министерства обороны Российской Федерации. - № 2021361133, заявл., 07.12.2021, опубл. 23.12.2022. Бюл. № 33.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Pat. No. 2784271 of the Russian Federation, IPC 26B 15/04. Vacuum microwave installation of the carousel type [Text] / V. V. Tkach, A. A. Shevtsov, I. N. Tarashchenko, A.M. Zhuravlev. - applicant and patent holder: Federal State State-owned Military Educational Institution of Higher Education "Military Training and Research Center of the Air Force "Air Force Academy named after Professor N.E. Zhukovsky and Yu.A. Garin" (Voronezh) of the Ministry of Defense of the Russian Federation. - No. 2021361133, application, 07.12.2021, publ. 23.12.2022. Byul. No. 33. (In Russ)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit9"><label>9</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Пат. на пол. модель № 72536 РФ, МПК F26B 5/06 (2006.01). Вакуумная СВЧ - установка для лабораторных исследований процесса обезвоживания пищевых сред [Текст] /Г.О. Магомедов, С.В. Шахов, М.Г. Магомедов, В.В. Ткач, В.В. Новиков. - заявитель и патентообладатель: Г.О. Магомедов, С.В. Шахов, М.Г. Магомедов, В.В. Ткач, В.В. Новиков. - № 2007145105/22; заявл. 04.12.2007; опубл. 20.04.2008. Бюл. № 11.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Pat. on the floor. Model No. 72536 RF, IPC F26B 5/06 (2006.01). Vacuum microwave installation for laboratory studies of the process of dehydration of food media [Text] /G.O. Magomedov, S.V. Shakhov, M.G. Magomedov, V.V. Tkach, V.V. Novikov. - applicant and patent holder: G.O. Magomedov, S.V. Shakhov, M.G. Magomedov, V.V. Tkach, V.V. Novikov. - No. 2007145105/22; application 04.12.2007; publ. 20.04.2008. Byul. No. 11. (In Russ)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit10"><label>10</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Orsat V., Vijaya G.S. Raghavan. Microwave technology for food processing. The Microwave Processing of Foods, july 2005, pp.105 - 118.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Orsat V., Vijaya G.S. Raghavan. Microwave technology for food processing. The Microwave Processing of Foods, july 2005;105 - 118.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit11"><label>11</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Tong T.H., Lund, D.B. Microwave Heating of Baked Dough Products with Simultaneous Heat and Moisture Transfer. Journal of Food Engineering 19 (1993), 319 - 339 - 286.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Tong T.H., Lund, D.B. Microwave Heating of Baked Dough Products with Simultaneous Heat and Moisture Transfer. Journal of Food Engineering 19 1993; 319 - 339 - 286.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit12"><label>12</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Bandita B. B, Sandeep J. Role of Food Microwave Drying in Hybrid Drying Technology. A Comprehensive Review of the Versatile Dehydration Processes, 2022, pp. 1 - 11.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Bandita B. B, Sandeep J. Role of Food Microwave Drying in Hybrid Drying Technology. A Comprehensive Review of the Versatile Dehydration Processes, 2022; 1 - 11.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit13"><label>13</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Bhargav K., Navnitkumar K. D. Drying of Food Materials by Microwave Energy. International Journal of Current Microbiology and Applied Sciences 9 (5): May 2020, pp.1950 - 1973.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Bhargav K., Navnitkumar K. D. Drying of Food Materials by Microwave Energy. International Journal of Current Microbiology and Applied Sciences 9 (5): May 2020;1950 - 1973.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit14"><label>14</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Pere C., Rodier E. Microwave vacuum drying of porous media: Experimental study and qualitative considerations of internal transfers. Chemical Engineering and Processing 41 (5), May 2002, pp. 427 - 436.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Pere C., Rodier E. Microwave vacuum drying of porous media: Experimental study and qualitative considerations of internal transfers. Chemical Engineering and Processing 41 (5), May 2002; 427 - 436.</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit15"><label>15</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Лыков А.В. Теория сушки / А. В. Лыков. - М.: Энергия, 1968. - 472 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Lykov A.V. Theory of drying. - M.: Energiya 1968; 471. (In Russ)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit16"><label>16</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Рудобашта С.П. Математическое моделирование процесса сушки дисперсных материалов [Текст] / С. П. Рудобашта / Известия Академии наук. Энергетика. - 2000. - № 4. - С. 98 - 109.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Rudobashta S. P. Mathematical modeling of the drying process of dispersed materials [Text] / S. P. Rudobashta. Proceedings of the Academy of Sciences. Energy. 2000; 4: 98 - 109. (In Russ)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit17"><label>17</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Ткач В.В. Постановка задачи моделирования процесса вакуумной СВЧ - сушки для определения температурных полей во вспененных суспензиях [Текст] / В. В. Ткач, Г. О. Магомедов, А. А. Шевцов// Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. Том 50, №2, 2023- С. 153-159.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Tkach V. V. Statement of the problem of modeling the process of vacuum microwave drying for determining temperature fields in foamed suspensions [Text] V. V. Tkach, G. O. Magomedov, A. A. Shevtsov. Herald of Daghestan State Technical University. Technical Sciences 2023; 50(2):153-159. (In Russ)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit18"><label>18</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для немат. спец. вузов / Под ред. акад. А.Н. Гихонова. -2-е. изд., стер. М.: Высш. шк, 1990. - 479 с., ил.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Shipachev V.S. Higher mathematics: Studies for nemat. spec. universities. Ed. akad. A.N. Tikhonov. 2nd ed., ster. M.: Higher School, 1990; 479l. (In Russ)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit19"><label>19</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения: Учебник для вузов. -5-е изд., - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Tikhonov A.N., Vasilyeva A.B., Sveshnikov A.G. Differential equations: Textbook for universities. 5th ed., - M.: FIZMATLIT, 2005. (In Russ)</mixed-citation></citation-alternatives></ref><ref id="cit20"><label>20</label><citation-alternatives><mixed-citation xml:lang="ru">Холодова С.Е., Перегудин С.И. Специальные функции в задачах математической физики. - СПб: НИУ ИТМО, 2012. - 72 с.</mixed-citation><mixed-citation xml:lang="en">Kholodova S.E., Peregudin S.I. Special functions in problems of mathematical physics. - St. Petersburg: NIU ITMO, 2012; 72. (In Russ)</mixed-citation></citation-alternatives></ref></ref-list><fn-group><fn fn-type="conflict"><p>The authors declare that there are no conflicts of interest present.</p></fn></fn-group></back></article>
