vdgtuВестник Дагестанского государственного технического университета. Технические наукиHerald of Dagestan State Technical University. Technical Sciences2073-61852542-095XDaghestan State Technical University10.21822/2073-6185-2023-50-3-124-131vdgtu-1349Research ArticleИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИINFORMATION TECHNOLOGY AND TELECOMMUNICATIONSКоррекция оптимального регулятора на основе решения обратной задачи оптимальной стабилизации с векторным управлениемCorrection of the optimal regulator based on solving the inverse problem of optimal stabilization with vector controlНикулинВ. В.NikulinV. V.

Владимир Валерьевич Никулин, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой инфокоммуникационных технологий и систем связи,

430005, г. Саранск, ул. Большевистская, строение 68

Vladimir V. Nikulin, Cand. Sci. (Eng.), Assoc. Prof., Head of the Department of  Infocommunication Technologies and Communication Systems,

68 building Bolshevistskaya St., Saransk 430005

nikulinvv@mail.ruМишинП. А.MishinP. A.

Мишин Павел Александрович, студент, кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления,

430005, г. Саранск, ул. Большевистская, строение 68

Pavel A. Mishin, Student, Department of Automated Information Processing and Control Systems,

68 building Bolshevistskaya St., Saransk 430005

pavel.mishinfz@gmail.comМишинаП. А.MishinaP. A.

Мишина Полина Андреевна, студент, кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления,

430005, г. Саранск, ул. Большевистская, строение 68

Polina А. Mishina, Student, Department of Automated Information Processing and Control Systems,

68 building Bolshevistskaya St., Saransk 430005

polya.nemchinova@gmail.comНациональный исследовательский Мордовский государственный университетРоссияNational Research Mordovia State UniversityRussian Federation202328102023503124131Copyright © Никулин В.В., Мишин П.А., Мишина П.А., 20232023Никулин В.В., Мишин П.А., Мишина П.А.Nikulin V.V., Mishin P.A., Mishina P.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.dgtu.ru/jour/article/view/1349Цель

Цель. Задача о проектировании регуляторов, которые реализуют заданное программное движение объекта управления и задача определения движения динамической системы – две основные задачи в классической теории управления. В статье рассматривается решение прямой и обратной задач оптимальной стабилизации. Вектор состояния принимается доступным для измерения полностью.

Метод

Метод. Опираясь на соотношение оптимальности, связывающее весовые коэффициенты квадратичного функционала качества и оптимальную матрицу усиления, на которую замыкается объект управления, предлагается использовать численный метод определения матриц функционала. Для исследования использовались математические модели автономных полностью управляемых объектов, формирование которых осуществлялось случайным образом, в частности, по нормальному закону распределения.

Результат

Результат. Первоначальный этап решения связан с модальным синтезом, результатом которого является пропорциональный регулятор, обеспечивающий стабилизацию объекта управления по расположению полюсов синтезированной системы. Затем, определены весовые коэффициенты функционала путем численного решения соотношения оптимальности. Заключительным этапом является решение прямой задачи оптимальной стабилизации, в основе которого лежит вариационная задача Лагранжа. В результате вычисляется оптимальный регулятор, который при включении в замкнутую систему вместо модального позволяет уменьшить длительность переходного процесса.

Вывод

Вывод. Авторский подход позволяет минимизировать в определенной степени переходные процессы скорректированной системы управления.

Objective

Objective. The problem of designing controllers that implement a given programmed movement of a controlled object and the problem of determining the movement of a dynamic system are two main problems in classical control theory. This article discusses the solution of direct and inverse optimal stabilization problems. The state vector is assumed to be completely available for measurement.

Method

Method. Based on the optimality ratio linking the weight coefficients of the quadratic quality functional and the optimal gain matrix, which closes the control object, it is proposed to use a numerical method for determining the functional matrices. Mathematical models of autonomous fully controlled objects were used for the study, the formation of which was carried out randomly, in particular, according to the normal distribution law.

Result

Result. The initial stage of the solution is associated with modal synthesis, the result of which is a proportional regulator that provides stabilization of the control object by the location of the poles of the synthesized system. The next step is to determine the weighting coefficients of the functional by numerically solving the optimality ratio. The final stage is the solution of the direct optimal stabilization problem, which is based on the Lagrange variational problem. As a result, the optimal regulator is calculated, which, when switched on in a closed system instead of a modal one, reduces the duration of the transient process.

Conclusion

Conclusion. The proposed approach of the authors allows minimizing to a certain extent the transients of the adjusted control system.

автономный объект управленияоптимальная стабилизацияквадратичный функционалмодальное управлениеоптимальный регуляторсоотношение оптимальностиautonomous control objectoptimal stabilizationquadratic functionalmodal controloptimal controlleroptimality ratioReferencesPetersen I. R., Hollot C. V. A Riccati equation approach to the stabilization of uncertain linear systems / I. R. Petersen, C. V. Hollot //Automatica. – 1986. – Vol. 22, №. 4. – P. 397-411.Petersen I. R., Hollot C. V. A Riccati equation approach to the stabilization of uncertain linear systems / I. R. Petersen, C. V. Hollot. Automatica. 1986; 22(4): 397-411.Мишин П. А., Немчинова П. А. Аналитический контроль решения задачи оптимальной стабилизации стационарного объекта с векторным управлением //E-Scio. – 2022. – № 4 (67). – С. 231-238.Mishin P. A., Nemchinova P. A. Analytical control of solving the problem of optimal stabilization of a stationary object with vector control. E-Scio. 2022;4 (67): 231-238. (In Russ )Мишин П. А., Немчинова П. А. Аналитический контроль решения задачи оптимальной стабилизации стационарного объекта с векторным управлением/ П. А. Мишин, П. А. Немчинова //Математика и математическое моделирование. –2022. – С. 377-378.Mishin P. A., Nemchinova P. A. Analytical control of solving the problem of optimal stabilization of a stationary object with vector control. Mathematics and mathematical modeling. 2022; 377-378. (In Russ )Афонин В. В. Аналитический контроль решения задачи оптимальной стабилизации стационарного объекта со скалярным управлением//Вестник Мордовского университета. 1998. № 3-4. – С. 122-123.Afonin V. V. Analytical control of solving the problem of optimal stabilization of a stationary object with scalar control. Bulletin of the Mordovian University. 1998;3-4:122-123. (In Russ )Мишин П. А., П. А. Немчинова. Анализ точности вычисления оптимального регулятора на основе соотношения оптимальности в системе matlab и языке Python //E-Scio. 2022. № 11 (74). – С. 511-518.Mishin P. A., P. A. Nemchinova. Analysis of the accuracy of calculating the optimal regulator based on the optimality ratio in matlab and Python,. E-Scio. 2022;11 (74):511-518. (In Russ )Афонин В. В., Мурюмин С. М. Соотношения оптимальности в линейно-квадратичной задаче управления. //Журнал Средневолжского математического общества. – 2014. –Т. 16, № 2. – С. 118-120.Afonin V. V., Muryumin S. M. Optimality relations in a linear-quadratic control problem. Journal of the Middle Volga Mathematical Society. 2014;16(2):118-120. (In Russ )Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003. – 632 с.Bakhvalov N. S., Zhidkov N. P., Kobelkov G. M. Numerical methods. M.: Binom. Laboratory of Knowledge, 2003; 632. (In Russ )Балашевич Н. В., Габасов Р., Кириллова Ф. М. Численные методы программной и позиционной оптимизации линейных систем управления//Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2000. – Т. 40, №. 6. – С. 838-859.Balashevich N. V., Gabasov R., Kirillova F. M. Numerical methods of software and positional optimization of linear control systems. Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2000; 40(6): 838-859. (In Russ )Киреев В. И., Пантелеев А. В. Численные методы в примерах и задачах. Высшая школа, 2008. 480 с.Kireev V.I., Panteleev A.V. Numerical methods in examples and problems. Higher School,2008;480.(In Russ )Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению.//Автоматика и телемеханика. – 2005. – № 5. – С. 7-46.Polyak B. T., Shcherbakov P. S. Difficult problems of linear control theory. Some approaches to the solution. Automation and telemechanics. 2005; 5:7-46. (In Russ )S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Ferron, V. Balakrishnan. Linear matrix inequalities in system and control theory. / Boyd S., El Ghaoui L., Ferron E., Balakrishnan V. – SIAM, 1994. – 193 p.S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Ferron, V. Balakrishnan. Linear matrix inequalities in system and control theory. SIAM, 1994;193.Polyak B. T., Shcherbakov P. S. Optimization and asymptotic stability//International Journal of Control. – 2016. – С. 1–7.Polyak B.T., Shcherbakov P.S. Optimization and asymptotic stability. International Journal of Control. 2016; 1–7.Юревич Е. И. Теория автоматического управления. / Е. И. Юревич. – М.: Энергия, 1969. – 375 с.Yurevich E. I. Theory of automatic control. M.: Energiya, 1969; 375. (In Russ )Зубов Н. Е., Рябченко В. Н. О вычислении псевдообратной матрицы. Общий случай / Н. Е. Зубов, В. Н. Рябченко //Вестник Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана. Серия «Естественные науки». – 2018. – №1 (76). – С. 16-25.Zubov N.E., Ryabchenko V.N. On the calculation of a pseudo-inverse matrix. General case. Bulletin of the Bauman Moscow State Technical University. The series «Natural Sciences». 2018;1 (76):16-25.(In Russ )Германенко М. И., Панюков А. В. Параллельные алгоритмы безошибочного вычисления матрицы МураПенроуза. //Параллельные вычислительные технологии. – 2008. – С. 215-215.Germanenko M. I., Panyukov A.V. Parallel algorithms for error-free calculation of the Moore-Penrose matrix. Parallel computing technologies. 2008; 215-215. (In Russ )Veremey E. Spectral approach to H-optimization of plasma control//International Journal of Modern Physics A. – 2009. – Т. 24, №. 5. – С. 1009-1018.Veremey E. Spectral approach to H-optimization of plasma control. International Journal of Modern Physics A. 2009; 24(5):1009-1018.Аполонский В. В., Тарарыкин С. В. Методы синтеза редуцированных регуляторов состояния линейных динамических систем//Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. – 2014. – №. 6. – С. 25-33.Apolonsky V.V., Tararykin S.V. Methods of synthesis of reduced state regulators of linear dynamical systems. Proceedings of the Russian Academy of Sciences.Theory and control systems.2014;6:25-33.(In Russ )Антоник В. Г., Срочко В. А. Метод проекций в линейно-квадратичных задачах оптимального управления //Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1998. – Т. 38, №. 4. – С. 564-572.Antonik V. G., Urgent V. A. Projection method in linear-quadratic optimal control problems. Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1998; 38 (4): 564-572. (In Russ )Романова И. К. Об одном подходе к определению весовых коэффициентов метода пространства состояний / И. К. Романова // Наука и Образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. – 2015. – №. 4. – С. 105-129.Romanova I.K. On one approach to determining the weight coefficients of the state space method. Science and Education: Scientific Edition of Bauman Moscow State Technical University.2015;4:105-129(In Russ )Афонин В. В., Мишин П. А., Мишина П. А. Вариационный подход к синтезу оптимального регулятора в задаче стабилизации // E-Scio. – 2023. – № 1 (76). – С. 299-315.Afonin V. V., Mishin P. A., Mishina P. A. Variational approach to synthesis of optimal regulator in the stabilization problem. E-Scio. 2023;1 (76): 299-315.(In Russ )

The authors declare that there are no conflicts of interest present.